高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质知识导航素材新人教A版必修1

1.3 函数的基本性质
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知识梳理
1.函数的单调性
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的_________.
求函数的单调区间,必须先求函数的_________.
讨论函数y=f［φ(x)］的单调性时要注意两点:
(1)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f［φ(x)］为_________;
(2)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f［φ(x)］为_________.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性,利用增(减)函数的定义容易证得,在这个区间上:
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有_________的单调性.
(2)C>0时,函数f(x)与C·f(x)具有_________的单调性;C<0时,函数f(x)与C·f(x)具有_________的单调性.
(3)若f(x)≠0,则函数f(x)与具有_________的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是_________(_________)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是_________ (_________)函数.
根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:
(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1(2)作差f(x1)-f(x2),并将此差化简、变形;
(3)判断f(x1)-f(x2)的正负,从而证得函数的增减性.
利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题.
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说,函数的单调区间是其定义域的_________.
2.函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_________,那么f(x)叫做奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_________,那么f(x)叫做偶函数.
奇函数的图象关于对称;偶函数的图象关于_________对称.
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.
函数按是否具有奇偶性可分为四类:奇函数,偶函数,既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数),非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).
函数的奇偶性是针对函数的整个_________而言,因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内,故奇函数或偶函数的定义域一定关于_________对称.所以,我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称,那么它没有奇偶性).然后再判断_________与_________的关系,从而确定其奇偶性.
疑难突破
1.函数的单调性与单调区间
剖析:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2,当x∈ [0,+∞)时是增函数,当x∈ (0,+∞)时是减函数.
图1-3-1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数
是这一区间上的单调函数.
在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
说明:(1)函数的单调区间是其定义域的子集;
(2)应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如,图1-3-1中,在x1、x2那样的特定位置上,虽然使得f(x1)>f(x2),但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;
(3)除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上述的定义,只要将上述定义中的“f(x1)f(x2)”改为“f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”即可.
2.函数的奇偶性
剖析:奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数,且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式,而不是只对自变量的部分值成立的方程,所以,只要出现以下两种情况之一,函数就不是偶函数或奇函数:
(1)定义域不是关于原点对称的区间;
(2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式.
判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)=0或=±1〔f(x)≠0〕来代替.
存在既奇且偶的函数,例如f(x)=+ .
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时,容易产生“非奇非偶”的错觉,万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称,f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.