1.4 三角函数图像 同步练习（解析版）

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三角函数图像
1．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【解析】∵函数y＝3cos（2x+）的图象关于点中心对称，
∴，得，k∈Z，由此得．
故选A.
2．已知函数f(x)＝，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数f(x)在区间上为减函数
D．函数f(x)是偶函数
【解析】因为函数f(x)＝，所以周期是函数y的周期的一半，
所以函数的周期为T．故A错误；
当x＝时，f(x)＝1，所以x＝是函数图象的一条对称轴．故B正确；
f（）＝＝sin，f（）＝＝，
所以f（） f（）＝＝≠±1，则图象不关于y轴对称，故D错误，
故选：B．
3．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos（2x）的图象上所有的点(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
【解析】将函数ycos（2x）的图象上所有的点横伸长到原来的2倍，
可得ycos（x）的图象，
再向右平移个单位，可得yos（x）sinx的图象，
故选：B．
4．函数y＝tan（sinx）的值域为（　　）
A． B． C．[﹣tan1，tan1] D．以上均不对
【解析】令t=sinx，当x∈R时，﹣1≤sinx≤1，
即函数y＝tant，在t∈[﹣1，1]上是单调增函数，
∴﹣tan1≤tant≤tan1，
∴y＝tan（sinx）的值域为[﹣tan1，tan1]．
故选：C．
5．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos2x的图象向左平移个单位得到的，则g()等于(　　)
A．1 B． C．0 D．－1
【答案】D
【解析】由f(x)＝cos2x的图象向左平移个单位得到的是g(x)＝cos[2（x）]的图象，
则g()＝cos[2（）]=cosπ=-1.
故选D．
6．同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】首先由最小正周期是π，可以排除A；
又因为y=sin(2×+)=0，不是最值，可以排除排除D；将x=0，x=代入C，可得到B不是关于直线x=对称．可以排除C：即可得到B正确．故选B．
7．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由?0得,∴，k∈Z.
故选D.
8．若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知T≤2π故答案为:A.
9．设为常数，且，，则函数的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
令，则
因为对称轴，所以当时，取最大值，选B.
10．函数，是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】设 则 故函数函数，是奇函数，由 故函数，是最小正周期为的奇函数.
故选A.
11．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，函数的周期为，只有C,D满足题意，
对于函数在上为增函数，
函数在上为减函数，故选D.
12．函数为增函数的区间是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
∴函数的单调递增区间为，
令k=0，则得函数的单调递增区间为，
故所求的单调递增区间为．
故选C．
13．已知函数f(x)=Asin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=(　　)

A． B．2 C．1 D．2
【解析】函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,
∴=-,A=.故选A.
14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由函数图像可知，，所以.
由点，可得，解得.
由，可得，所以.
故选A.
15．函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数的图象向右平移个单位，,再把图像上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到,则的解析式为（ ）
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】试题分析：∵函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是，
∴ω=2．若将函数f（x）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x-）+]=sin2x的图象，
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到g（x）=sin4x的图象
16．函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得．令得，故选C．
17．函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为，且在上是增函数
B．函数的最小正周期为，且在上是减函数
C．函数的最小正周期为，且在上是减函数
D．函数的最小正周期为，且在上是增函数
【答案】D
【解析】对于函数，因为
，所以它的最小正周期为，当时，，函数单调递增，
故选D.
18．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．在每一个区间内单调递增
【答案】A
【解析】对于函数，根据该函数的图象知，其最小正周期为，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
由函数的图象知，的图象关于直线对称，C正确；
由的图象知，在每一个区间内单调递增，D正确．

二、填空题
19．已知f（x）＝2sin（2x）﹣m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围为________．
【答案】[1，2)
【解析】令t＝2x，由x∈[0，]可得2x，故 t∈[，]．
由题意可得g（t）＝2sint﹣m 在t∈[，]上有两个不同的零点，
故 y＝2sint 和y＝m在t∈[，]上有两个不同的交点，如图所示：
故 1≤m＜2，
故答案为：[1，2）．

20．函数y＝2sin(3x＋φ)图象的一条对称轴为直线x＝，则φ＝________．
【答案】
【解析】由y＝2sin(3x＋φ)的对称轴为x＝ (k∈Z)，
可知3×＋＝kπ＋ (k∈Z)，
解得＝kπ＋ (k∈Z)，
又| |＜，
所以k＝0，故＝．
故答案为.
21．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
【解析】作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.
故答案为：
22．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω·φ=_____.
【答案】π
【解析】由是偶函数可得
，
则当时，

的图象上的点关于对称
则
故
即
在区间上是单调函数
，即
又，
则当时，
则
故答案为
23．函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】，由于，所以当时，函数取最小值1.
24．已知函数的一段图像如图所示.

（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数在上的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）和.
【解析】（1）由函数的图象可知A，，
∴周期T＝16，∵T16，∴ω，∴y＝2sin（x+φ），∵函数的图象经过（2，﹣2），∴φ＝2kπ，即φ，又|φ|＜π，∴φ；
∴函数的解析式为：y＝2sin（x）．
（2）由已知得，
得16k+2≤x≤16k+10，
即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z．
当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，
当k＝0时，为[2，10]，
∵x∈（﹣2π，2π），
∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）．
25．函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象过点(0,1)，如图所示．

(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
【答案】（1）f1(x)＝2sin(2x＋)．（2）ymax＝2. x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
【解析】(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移，
得y＝Asin(2x＋φ)的图象，于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝2.
x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
26．设函数的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）已知，，求的值；
（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，
单增区间为.
【解析】（1）因为，所以；
（2）,
所以 , =;
（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，
由得
单减区间为，
由得
单增区间为。
函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间
27．关于函数，有以下命题：
①函数的定义域是；
②函数是奇函数；
③函数的图象关于点对称；
④函数的一个单调递增区间为．
其中，正确的命题序号是_______．
【答案】①③
【解析】函数应满足，，即，，故①正确；由于，故②错；将代入得到，故③正确；由，知函数的单调增区间为，，故④错.
28．当时，的值总不大于零，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】∵，∴.∵对任意的，都有，即，
∴，∴.
















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