4．2.3 对数函数的性质与图像
第1课时 对数函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
对数函数的概念
理解对数函数的概念，会判断对数函数
数学抽象
对数函数的图像
初步掌握对数函数的图像与性质
直观想象、数学运算
对数函数的简单应用
能利用对数函数的性质解决与之有关的问题
数学建模、数学运算
问题导学
预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：
1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？
对数函数
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
对数函数y＝logax的性质：
(1)定义域是(0，＋∞)，因此函数图像一定在y轴的右边．
(2)值域是实数集R．
(3)函数图像一定过点(1，0)．
(4)当a>1时，y＝logax是增函数；当0
(5)对数函数的图像
■名师点拨
底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝logx是对数函数．( )
(2)函数y＝2log3x是对数函数．( )
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
函数f(x)＝＋lg x的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(0，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C.因为，所以x≥1.
下列不等号连接错误的一组是( )
A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>logeπ
解析：选D.函数y＝logπx在定义域上单调递增，e<π，则logπelogee＝1，则logπe 函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________.
解析：由题意可得0<3a－1<1，
解得所以实数a的取值范围是.
答案：
对数函数的概念
判断下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.
【解】 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
解析：选A.设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，
所以a2＝4，所以a＝2，
所以该对数函数的解析式为y＝log2x.
对数函数的图像
如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
【解析】 法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A.
法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A.
【答案】 A
函数y＝logax(a＞0且a≠1)的
底数变化对图像位置的影响
观察图像，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
1．函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－2，1) D．(－1，1)
解析：选D.令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点(－1，1)．
2．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：选B.作直线y＝1，则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
与对数函数有关的定义域问题
若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
【解析】 由题意知
解得x＞－且x≠0.
【答案】 C
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．
函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
解析：选B.因为y＝ln(1－x)，所以解得0≤x＜1.
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x
解析：选D.选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
2．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由可得－＜x＜1.
3．函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )
解析：选A.函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当04．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图像过定点为________．
解析：函数图像过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0，
所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2，1)．
答案：(2，1)
5．比较下列各组数的大小：
(1)log2________log2；
(2)log32________1；
(3)log4________0.
解析：(1)底数相同，y＝log2x是增函数，
所以log2＜log2.(2)log32＜log33＝1.(3)log4＜log1＝0.
答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜
[A 基础达标]
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C.由题意知解得x>－1且x≠1.
2．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
解析：选D.由于对数函数的图像过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log2(3x＋1)＞0.
所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是( )
解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位(或令x＝0得y＝0)，而且函数为增函数，故选C.
5．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图像过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
答案：5
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像过定点P，则点P的坐标是________．
解析：y＝logax的图像恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(4，－1)
8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1，3]时，f(x)的值域是________．
解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1，3]，所以0≤f(x)≤1.
答案：[0，1]
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
解：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
[B 能力提升]
11．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选C.当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.
所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
12．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)
解析：选D.由解得所以x≥4且x≠10，
所以函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.
13．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
所以a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
14．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝f(x)＝log3x的图像如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图像知：当0恒有f(a)所以所求a的取值范围为(0，2)．
[C 拓展探究]
15．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
课件29张PPT。第四章 指数函数、对数函数与幂函数第四章 指数函数、对数函数与幂函数右边增函数减函数×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C.由题意知解得x>－1且x≠1.
2．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
解析：选D.由于对数函数的图像过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log2(3x＋1)＞0.
所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是( )
解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位(或令x＝0得y＝0)，而且函数为增函数，故选C.
5．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图像过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
答案：5
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像过定点P，则点P的坐标是________．
解析：y＝logax的图像恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(4，－1)
8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1，3]时，f(x)的值域是________．
解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1，3]，所以0≤f(x)≤1.
答案：[0，1]
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
解：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
[B 能力提升]
11．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选C.当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.
所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
12．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)
解析：选D.由解得所以x≥4且x≠10，
所以函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.
13．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
所以a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
14．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝f(x)＝log3x的图像如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图像知：当0恒有f(a)所以所求a的取值范围为(0，2)．
[C 拓展探究]
15．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
第2课时 对数函数的性质与图像的应用
考点
学习目标
核心素养
对数函数的概念
进一步加深理解对数函数的概念
数学运算
对数函数的性质
掌握对数函数的性质及其应用
逻辑推理、数学运算
对数值的大小比较
比较下列各组中两个值的大小．
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
【解】 (1)因为函数y＝ln x是增函数，且0.3＜2，
所以ln 0.3＜ln 2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)法一：因为0＞log0.23＞log0.24，
所以＜，
即log30.2＜log40.2.
法二：如图所示．
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D.利用对数函数的性质求解．
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，所以b＜a＜c，故选D.
2．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
解析：选B.a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
对数函数单调性的应用
求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
【解】 要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，
因此函数y＝log(1－x2)的定义域为(－1，1)．
令t＝1－x2，x∈(－1，1)．
当x∈(－1，0]时，若x增大，则t增大，y＝logt减小，
所以x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．
故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.
(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．
(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.f(x)≤2?或
?0≤x≤1或x＞1，故选D.
与对数函数有关的值域与最值问题
求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log(3＋2x－x2)．
【解】 (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
求对数型函数值域(最值)的方法
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．
(2)求f(x)的定义域．
(3)求u的取值范围．
(4)利用y＝logau的单调性求解．
(2019·厦门检测)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．
解析：当0所以f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，
解得a＝；
同理，
当a>1时，f(x)在[0，1]上为增函数，
所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a>1矛盾．
综上，a＝.
答案：
对数函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
【解】 (1)要使此函数有意义，
则有或
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
所以f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a＞1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当0＜a＜1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．
(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
(2)求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求证；②利用复合函数的单调性求得单调区间．
已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
解：(1)因为f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x＜1}
＝{x|－1＜x＜1}．
函数h(x)为奇函数，理由如下：
因为h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
所以h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数．
(2)因为f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，所以a＝2.
所以h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
所以h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
所以解之得－1＜x＜0.
所以使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．
1．函数y＝ln x的单调递增区间是( )
A．[e，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选B.函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．
2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D.因为1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
所以1＞a＝log54＞log53＞(log53)2＝b.
又因为c＝log45＞log44＝1.所以c＞a＞b.
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(1，2]
解析：选D.由题意有解得1＜x≤2.
4．函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，logx≤log1＝0，所以当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案：
[A 基础达标]
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B.因为lg(2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，所以x的取值范围是(2，7]，故选B.
2．已知logm＜logn＜0，则( )
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
解析：选D.因为0＜＜1，logm＜logn＜0，
所以m＞n＞1，故选D.
3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D.f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．
4．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：选D.由题知，a＝log45＞1，b＝＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A.f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
所以f(x)为奇函数，故选A.
6．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则
无解．
综上，a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
7．不等式log(5＋x)解析：由解得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．
解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，
所以a＝2，a＝4.
答案：4
9．已知对数函数f(x)的图像过点(4，2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．
解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)?log2(2x－3)＞log2x??x＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．设a>0且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2.
所以lg(x2－2x＋3)的最小值为lg 2.
又因为y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.
[B 能力提升]
11．若a＞0，且log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C.因为log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，所以a2＜a3，即a2(1－a)＜0，所以a＞1，故选C.
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________．
解析：因为f(x)是R上的偶函数，
所以它的图像关于y轴对称．
因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)在(－∞，0)上为减函数，
作出函数图像如图所示．
由f＝0，得f＝0.
所以f(logx)＞0?logx＜－或logx＞?x＞2或0＜x＜，所以x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
13．求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．
解：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.因为x∈，所以t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图像的对称轴为直线t＝－，
所以函数y在上是增函数，在上是减函数，
所以当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
所以f(x)的值域为.
[C 拓展探究]
14．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－3，1)．
(2)函数f(x)可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
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[A 基础达标]
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B.因为lg(2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，所以x的取值范围是(2，7]，故选B.
2．已知logm＜logn＜0，则( )
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
解析：选D.因为0＜＜1，logm＜logn＜0，
所以m＞n＞1，故选D.
3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D.f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．
4．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：选D.由题知，a＝log45＞1，b＝＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A.f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
所以f(x)为奇函数，故选A.
6．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则
无解．
综上，a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
7．不等式log(5＋x)解析：由解得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．
解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，
所以a＝2，a＝4.
答案：4
9．已知对数函数f(x)的图像过点(4，2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．
解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)?log2(2x－3)＞log2x??x＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．设a>0且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2.
所以lg(x2－2x＋3)的最小值为lg 2.
又因为y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.
[B 能力提升]
11．若a＞0，且log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C.因为log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，所以a2＜a3，即a2(1－a)＜0，所以a＞1，故选C.
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________．
解析：因为f(x)是R上的偶函数，
所以它的图像关于y轴对称．
因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)在(－∞，0)上为减函数，
作出函数图像如图所示．
由f＝0，得f＝0.
所以f(logx)＞0?logx＜－或logx＞?x＞2或0＜x＜，所以x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
13．求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．
解：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.因为x∈，所以t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图像的对称轴为直线t＝－，
所以函数y在上是增函数，在上是减函数，
所以当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
所以f(x)的值域为.
[C 拓展探究]
14．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－3，1)．
(2)函数f(x)可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
