1.等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B.＝
＝＝2.
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
解析：选D.显然a>0且a≠1.
若0
若a>1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合．
3．已知P＝2－，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是( )
A．P＜Q＜R B．Q＜R＜P
C．Q＜P＜R D．R＜Q＜P
解析：选B.函数y＝x3在R上是增函数，所以＜，由函数y＝2x在R上是增函数知，2－＞2－3＝，
所以Q＜R＜P.
4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图像(图略)，易知有2个交点．
5．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
解：(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，所以n＝1.
所以f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，1＋>0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
因为f(x)在区间[1，3]上单调递增．
所以|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝.
所以t≥.
故t的最小值为.
章末复习提升课
指数、对数的运算
化简：(1)() －×()÷；
(2)2log32－log3＋log38－25log53.
【解】 (1)原式＝(2)－×(10)÷10
＝2－1×103×10－＝2－1×10＝.
(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53
＝log3－5 log59
＝log39－9＝2－9＝－7.
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
解析：因为log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
所以原式＝2×2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
答案：111
比较大小
比较下列各组数的大小：
(1)27，82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)2－，log2，log.
【解】 (1)因为82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.
(2)因为对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
所以log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
所以<<，
即log20.4(3)0<2－<20＝1.
log2log>log＝1.
所以log2<2－
数的大小比较常用方法
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4，0.43，log0.43.
解：(1)因为log0.049＝＝
＝＝＝log0.23.
又因为y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
所以log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4>30＝1，0<0.43<0.40＝1，
log0.43所以log0.43<0.43<30.4.
指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度一：函数性质及应用
已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
【解】 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，>－，
解得x>log；
②当a>0，b<0时，<－，解得x
指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
函数f(x)＝与函数g(x)＝log|x|在区间(－∞，0)上的单调性为( )
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
解析：选D.f(x)＝在x∈(－∞，0)时为减函数，g(x)＝log|x|为偶函数，x∈(0，＋∞)时g(x)＝logx为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
命题角度二：函数图像及应用
如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
【解析】 借助函数的图像求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图像如图.
由得
所以结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1【答案】 C
指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
解析：选B.由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称．显然不符．故选B.
函数的实际应用
某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
【解】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5 L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，
得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－x2＋x＝－＋，所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L.
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解：根据题意可列方程组：
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①与②式得：
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
1.等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B.＝
＝＝2.
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
解析：选D.显然a>0且a≠1.
若0若a>1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合．
3．已知P＝2－，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是( )
A．P＜Q＜R B．Q＜R＜P
C．Q＜P＜R D．R＜Q＜P
解析：选B.函数y＝x3在R上是增函数，所以＜，由函数y＝2x在R上是增函数知，2－＞2－3＝，
所以Q＜R＜P.
4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图像(图略)，易知有2个交点．
5．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
解：(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，所以n＝1.
所以f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，1＋>0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
因为f(x)在区间[1，3]上单调递增．
所以|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝.
所以t≥.
故t的最小值为.
课件31张PPT。第四章 指数函数、对数函数与幂函数本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(四)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简＋的结果是( )
A．2π－9 B．9－2π
C．－1 D．1
解析：选C.＋
＝(4－π)＋(π－5)＝－1.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
解析：选C.A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg |x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
3．已知集合A＝{x|y＝lg (2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(?RB)∩A等于( )
A．[0，1] B．(0，1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
解析：选B.由得0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
则(?RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．
4．函数y＝x的图像大致是( )
解析：选B.函数y＝x＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图像关于原点对称，排除A，C.
因为y＝＝×<，y＝1＝1，y＝2＝2×2>2，所以当x∈(0，1)时，函数y＝x的图像在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x的图像在直线y＝x的上方．故选B.
5．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝2－ B．y＝
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3
解析：选A.A中，y＝2－＝的值域为(0，＋∞)．
B中，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0，1)．
C中，y＝x2＋x＋1＝＋的值域是.
D中，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝3的值域是(0，1)∪(1，＋∞)．
6．1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是( )
A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1
B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1
C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1
D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1
解析：选D.1.5－3.1＝，2－3.1＝，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜2，
所以＜＜23.1，故选D.
7．已知f(3x)＝4x·log2x，那么f的值是( )
A．－2 B．4
C．8(log23－1) D．－
解析：选A.令3x＝，得x＝.
故f＝4×log2＝－2.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D.
解析：选D.方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0所以0<2a<1，即0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
综上，09．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是( )
A．(0，10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
解析：选D.因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，解得x＞10或0＜x＜.
10.已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图像如图所示，则g(x)等于( )
A. B．－
C．2－x D．－2x
解析：选D.由图像可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，则0因为f(1)＝，所以a＝，即函数f(x)＝.当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－g(x)，即g(x)＝－＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0，故选D.
11．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意得
所以12．已知点A(1，0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选B.设B(x0，ln x0)，x0>0，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.
此方程的解的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图像的交点个数．画出图像，可知两个函数的图像只有1个交点．故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图像一定过定点P，则P点的坐标是________．
解析：由于函数y＝ax恒过点(0，1)，而y＝ax－1＋3的图像可看作由y＝ax的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1，4)．
答案：(1，4)
14．(2019·江西省抚州市崇仁二中期中)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：(1)当a>1时，
函数y＝logax在[2，4]上单调递增，
所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
(2)当0函数y＝logax在[2，4]上单调递减，
所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
综上可知a＝2或.
答案：2或
15．若f(x)＝则f(x)的值域为________．
解析：当x∈(－∞，1]时，x－1≤0，0<3x－1≤1，－2答案：(－2，－1]
16．对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0.
当f(x)＝ex时，上述结论中正确结论的序号是________．
解析：因为f(x)＝ex，所以f(x1＋x2)＝ex1＋x2，f(x1)f(x2)＝e x1e x2＝e x1＋x2，故f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，①正确．f(x1x2)≠f(x1)＋f(x2)，②不正确．由f(x)＝ex为增函数，可知当x1>x2时，f(x1)>f(x2)；当x10成立，故③正确．
答案：①③
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋＋－2log42；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.
解：(1)因为(ln 5)0＝1，＝＝.
＝|1－|＝－1.
2 log42＝(4) log42＝4log42＝4 log42＝.
所以原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(本小题满分12分)已知x＞1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
解：f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，
当1＜x＜时，x＜1，所以logxx＜0，
所以f(x)当x＞时，x＞1，所以logxx＞0，所以f(x)>g(x)．
综上可得当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＞时，f(x)＞g(x)．
19．(本小题满分12分)若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解：由x2－logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
因为当x＝时，y＝x2＝，
所以只要当x＝时，y＝logm≥＝logmm.
所以≤m，即≤m.又0所以≤m<1，即实数m的取值范围是.
20．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意，得y＝
(2)因为x∈(0，15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，所以x>15，
所以1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
即老张的销售利润是39万元．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
解：(1)由解得1故函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，
即为loga(x－1)≤loga(6－2x)．(*)
①当a>1时，不等式(*)等价于
解得1②当0解得≤x<3.
综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；
当022.(本小题满分12分)如图，A，B，C是函数y＝f(x)＝logx图像上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．
(1)设△ABC的面积为S，求S＝g(t)；
(2)若函数S＝g(t)＜f(m)恒成立，求m的取值范围．
解：(1)S＝g(t)＝
＋
－
＝log2
＝log2(t≥1)．
(2)因为函数g(t)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以g(t)max＝g(1)＝log2.
所以g(t)max＝log2＜f(m)＝logm＝log2.
所以＞，所以0＜m＜.
