4．2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
考点
学习目标
核心素养
对数的概念
了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化
数学抽象、数学运算
对数的基本性质
理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值
数学运算
问题导学
预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：
1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？
2．什么是常用对数、自然对数？
3．对数恒等式是什么？
4．如何进行对数式和指数式的互化？
1．对数的概念
(1)在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
(2)当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数．
(3)loga1 ＝0；logaa＝1；alogaN＝N；logaab＝b．
2．常用对数和自然对数
(1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N.
(2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln____N．
■名师点拨
logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )
(2)对数式log32与log23的意义一样．( )
(3)因为1a＝1，所以log11＝a.( )
(4)log(－2)(－2)＝1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
若log8x＝－，则x的值为( )
A. B．4
C．2 D.
解析：选A.因为log8x＝－，
所以x＝8－＝2－2＝，故选A.
2log23＝________．
解析：由对数恒等式得，2log23＝3.
答案：3
若log3(log2x)＝0则x＝________．
解析：因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝30＝1，所以x＝2，即x＝.
答案：
对数的概念
在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4【解析】 因为所以2【答案】 D
由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
求f(x)＝logx的定义域．
解：要使函数式f(x)有意义，需
解得0所以f(x)＝logx的定义域为(0，1)．
对数式与指数式的互化
(1)将下列指数式化成对数式：
①54＝625；②2－6＝；③3a＝27；④＝5.73.
(2)将下列对数式化成指数式并求x的值：
①log64x＝－；②logx8＝6；③lg 100＝x.
【解】 (1)①log5625＝4；②log2＝－6；③log327＝a；④log5.73＝m.
(2)①x＝64－＝(43) －＝4－2＝.
②因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
③因为10x＝100＝102，所以x＝2.
(1)指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
(2)要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
1．如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
解析：选C.logba＝2，故选C.
2．计算：(1)log927；(2)log81；(3)log625.
解：(1)设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，所以x＝.
(2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，所以x＝16.
(3)令x＝log625，则()x＝625，5x＝54，所以x＝3.
对数基本性质的应用
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
【解】 (1)因为log2(log5x)＝0.
所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.
(2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000.
logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选A.因为log2(log3x)＝0，
所以log3x＝1.
所以x＝3.同理y＝4，z＝2.所以x＋y＋z＝9.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
答案：B
2．若logax＝1，则( )
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
答案：C
3．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4 B．4
C．256 D．2
答案：B
4．设10lg x＝100，则x的值等于( )
A．10 B．0.01
C．100 D．1 000
答案：C
[A 基础达标]
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2
B．log9＝－2
C．log(－2)＝9
D．log9(－2)＝
解析：选B.根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析：选A.因为2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，
所以x＝3－2＝.
3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
解析：选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足
解得0＜a＜.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：选C.由指对互化的关系：
ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
解析：选B.由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx(yx)＝log2(12)＝0.
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0.001
得lg 0.001＝－3.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．
解析：因为log2(1－2x)＝1＝log22，
所以1－2x＝2，所以x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x－＝________．
解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
所以x－＝8－＝＝＝＝.
答案：
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
解：(1)因为53＝125，所以log5125＝3.
(2)因为4－2＝，所以log4＝－2.
(3)因为log8＝－3，所以＝8.
(4)因为log3＝－3，
所以3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：因为logx＝m，
所以＝x，x2＝.
因为logy＝m＋2，
所以＝y，y＝.
所以＝＝＝＝16.
[B 能力提升]
11．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
解析：选A.由loga＝c，得ac＝，所以b＝(ac)5＝a5c.
12．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为x＝( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
解析：选B.由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.
13．满足(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
14．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解：因为log2(log3(log4x))＝0，
所以log3(log4x)＝1，
所以log4x＝3，所以x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
所以y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
[C 拓展探究]
15．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．
解：(1)因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54，
所以182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝.
课件23张PPT。第四章 指数函数、对数函数与幂函数第四章 指数函数、对数函数与幂函数底数真数负数和零没有对数01Nb常用对数自然对数××××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A 基础达标]
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2
B．log9＝－2
C．log(－2)＝9
D．log9(－2)＝
解析：选B.根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析：选A.因为2 log3x＝2－2，所以log3x＝－2，
所以x＝3－2＝.
3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
解析：选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足
解得0＜a＜.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：选C.由指对互化的关系：
ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
解析：选B.由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx(yx)＝log2(12)＝0.
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________．
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0.001
得lg 0.001＝－3.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．
解析：因为log2(1－2x)＝1＝log22，
所以1－2x＝2，所以x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x－＝________．
解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
所以x－＝8－＝＝＝＝.
答案：
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
解：(1)因为53＝125，所以log5125＝3.
(2)因为4－2＝，所以log4＝－2.
(3)因为log8＝－3，所以＝8.
(4)因为log3＝－3，
所以3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：因为logx＝m，
所以＝x，x2＝.
因为logy＝m＋2，
所以＝y，y＝.
所以＝＝＝＝16.
[B 能力提升]
11．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
解析：选A.由loga＝c，得ac＝，所以b＝(ac)5＝a5c.
12．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为x＝( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
解析：选B.由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.
13．满足(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
14．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解：因为log2(log3(log4x))＝0，
所以log3(log4x)＝1，
所以log4x＝3，所以x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
所以y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
[C 拓展探究]
15．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．
解：(1)因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54，
所以182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝.
