[A 基础达标]
1．若e1，e2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选D.e1＋e2 与e1－e2 不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．
2．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D.|MN|＝|xN－(－3)|＝4，
所以xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
3．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，
由平行四边形法则可知
＝e1－3e2.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D.2＝
解析：选A.因为在△ABC中，D为边BC的中点，所以＋＝2，所以2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为＝t，所以－＝t(－)，
＝(1－t)＋t.
又＝＋且与不共线，所以t＝.
6．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________．
解析：以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
7．若向量a＝4e1＋2e2 与b＝ke1＋e2 共线，其中e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
解析：因为向量a与b共线，
所以存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.
因为e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，
所以所以k＝2.
答案：2
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．
解析：如图，由题意知，D为AB的中点，
＝，所以＝＋
＝＋
＝＋(－)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，
所以λ1＋λ2＝－＋＝.
答案：
9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.
解：在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，
所以＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
解：在矩形OACB中，＝＋，
又＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ
＝＋，
所以＝1，＝1，
所以λ＝μ＝.
[B 能力提升]
11．如果e1，e2是同一平面α内的两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无穷多对；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④{e1，e1＋e2}可以作为该平面的一组基底．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B.由平面向量基本定理可知①是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的，故②不正确．对于③，当λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，符合题意的λ有无数个，故③不正确．对于④，假设e1＋e2＝λe1，则e2＝(λ－1)e1.又e1，e2不共线，故假设不成立，即e1＋e2与e1不共线，即{e1，e1＋e2}可以作为该平面的一组基底，④正确．
12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选B.为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，
所以λ的方向与＋的方向相同．
而＝＋λ，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
13.如图，在平面内有三个向量，，，||＝||＝1，直线OA与OB所成钝角为120°，直线OC与OA的夹角为30°，||＝5，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________．
解析：作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，如图，
则∠COQ＝∠OCP＝90°，
在Rt△QOC中，2OQ＝QC，||＝5.
则||＝5，||＝10，所以||＝10，又||＝||＝1，所以＝10，＝5，所以＝＋＝10＋5，所以m＋n＝10＋5＝15.
答案：15
14．设e1，e2 是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2 的分解式．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2 不共线，得?所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2，
所以?
所以c＝2a＋b.
[C 拓展探究]
15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN相交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)· ＋λ?λ＝，所以＝，
即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
6．2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
考点
学习目标
核心素养
共线向量基本定理
掌握共线向量基本定理
数学抽象、数学运算
平面向量基本定理
理解平面向量基本定理
数学抽象、数学运算
向量的应用
两定理的熟练应用
数学建模、逻辑推理
直线上向量的坐标及其运算
理解直线上向量的坐标的含义及其运算
数学抽象，数学运算
问题导学
预习教材P152－P159的内容，思考以下问题：
1．共线向量基本定理是怎样表述的？
2．用向量证明三点共线有哪些方法？
3．平面向量基本定理的内容是什么？
4．如何定义平面向量基底？
5．实数与直线上的向量建立了什么关系？
1．共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．
2．平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
■名师点拨
(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量．
(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的．
(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．
3．直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．
当x>0时，a的方向与e的方向相同；
当x＝0时，a是零向量；
当x<0时，a的方向与e的方向相反．
也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．
4．直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则a＝b?x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．
如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，
ua－vb的坐标为ux1－vx2．
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此，
＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．
AB＝||＝|x2－x1|．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
如果向量a与向量b不平行，则与a，b都不平行的向量是( )
A．3a＋2b B．2a
C．－a D．－3b
答案：A
数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1，2，5，则( )
A.的坐标为－3 B.的坐标为3
C.的坐标为－6 D.的坐标为－3
答案：B
如图所示，向量可用向量e1，e2 表示为________．
解析：由题图可知，＝4e1＋3e2.
答案：4e1＋3e2
共线向量基本定理
已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
【解】 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．
因为m，n不共线，所以
因为不存在λ同时满足此方程组，
所以a与b不共线．
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
设非零向量e1 和e2 不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2 和e1＋ke2 共线？
解：设ke1＋e2 与e1＋ke2 共线，
所以存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
因为e1 与e2 不共线，所以只能有则k＝±1.
用基底表示向量
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
【解】 由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.
解：因为AD∥BC，且AD＝BC，
所以＝＝b.
因为E为AD的中点，
所以＝＝＝b.
因为＝，
所以＝b，
所以＝＋＋
＝－b－a＋b＝b－a.
＝＋＝－b＋b－a＝b－a.
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－
＝a－b.
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋(1－3λ)(λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
【解】 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.
法二：将已知向量等式两边同时减去，得
－＝(3λ－1) ＋(1－3λ)
＝(1－3λ)(－)
＝(1－3λ)，
即＝(1－3λ)，λ∈R，
所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.
直线的向量参数方程式的应用
(1)若A，B，C三点共线，则有＝x＋y，且x＋y＝1.
(2)若＝x＋y，且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线．
在△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________．
解析：法一：因为＝2，
所以＝＝(－)．
因为在△ACD中，＝＋＝＋(－)
＝＋，
所以λ＝.
法二：因为＝2，所以A，B，D三点共线，
又因为C在直线AB外，则＋λ＝1，所以λ＝.
答案：
直线上向量的坐标及长度运算
已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，的坐标为－3；
(2)x2＝－1，||＝2.
【解】 (1)因为的坐标为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)因为||＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
直线上向量的坐标及长度计算的方法
(1)直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
(2)直线上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3，7，求，，的坐标和长度．
解：的坐标为(－3)－(－8)＝5，||＝5；
的坐标为7－(－3)＝10，||＝10；
的坐标为(－8)－7＝－15，||＝15.
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选D.由于，不共线，所以可以作为一组基底．
2．设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：选A.因为＝3，
所以－＝3(－)＝3－3，
所以3＝4－，
所以＝－＝－＋.
3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得
所以x－y＝3.
答案：3
4．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若||＝6，求d的值；
(2)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)因为||＝6，
所以|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
所以d＝4或d＝－8.
(2)证明：因为的坐标为c＋4，的坐标为d＋4，
所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
因为3的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16
＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
所以3＝－4.
[A 基础达标]
1．若e1，e2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选D.e1＋e2 与e1－e2 不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．
2．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D.|MN|＝|xN－(－3)|＝4，
所以xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
3．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，
由平行四边形法则可知
＝e1－3e2.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D.2＝
解析：选A.因为在△ABC中，D为边BC的中点，所以＋＝2，所以2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为＝t，所以－＝t(－)，
＝(1－t)＋t.
又＝＋且与不共线，所以t＝.
6．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________．
解析：以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
7．若向量a＝4e1＋2e2 与b＝ke1＋e2 共线，其中e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
解析：因为向量a与b共线，
所以存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.
因为e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，
所以所以k＝2.
答案：2
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．
解析：如图，由题意知，D为AB的中点，
＝，所以＝＋
＝＋
＝＋(－)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，
所以λ1＋λ2＝－＋＝.
答案：
9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.
解：在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，
所以＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
解：在矩形OACB中，＝＋，
又＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ
＝＋，
所以＝1，＝1，
所以λ＝μ＝.
[B 能力提升]
11．如果e1，e2是同一平面α内的两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无穷多对；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④{e1，e1＋e2}可以作为该平面的一组基底．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B.由平面向量基本定理可知①是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的，故②不正确．对于③，当λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，符合题意的λ有无数个，故③不正确．对于④，假设e1＋e2＝λe1，则e2＝(λ－1)e1.又e1，e2不共线，故假设不成立，即e1＋e2与e1不共线，即{e1，e1＋e2}可以作为该平面的一组基底，④正确．
12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选B.为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，
所以λ的方向与＋的方向相同．
而＝＋λ，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
13.如图，在平面内有三个向量，，，||＝||＝1，直线OA与OB所成钝角为120°，直线OC与OA的夹角为30°，||＝5，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________．
解析：作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，如图，
则∠COQ＝∠OCP＝90°，
在Rt△QOC中，2OQ＝QC，||＝5.
则||＝5，||＝10，所以||＝10，又||＝||＝1，所以＝10，＝5，所以＝＋＝10＋5，所以m＋n＝10＋5＝15.
答案：15
14．设e1，e2 是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2 的分解式．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2 不共线，得?所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2，
所以?
所以c＝2a＋b.
[C 拓展探究]
15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN相交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)· ＋λ?λ＝，所以＝，
即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
课件35张PPT。第六章 平面向量初步第六章 平面向量初步不共线基底分解式相同零向量相反×√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
