6．2.3 平面向量的坐标及其运算
考点
学习目标
核心素养
向量的正交分解
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示
数学抽象
平面向量的坐标
理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则
数学抽象、数学运算
两种坐标的区别
掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系
数学抽象
向量共线
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法
逻辑推理、数学建模
问题导学
预习教材P160－P166的内容，思考以下问题：
1．两个向量垂直如何定义？
2．一个向量如何正交分解？
3．向量的坐标定义是什么？
4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量对应的坐标也为(x，y)，即＝(x，y)；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＝b?x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝．
■名师点拨
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)；
AB＝||＝．
设线段AB中点为M(x，y)，则
4．向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x2y1＝x1y2．
■名师点拨
两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若O为坐标原点，＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．( )
(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( )
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则＝.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C．(－8，1) D．(8，1)
解析：选A.＝－＝(－5，－1)－(3，－2)
＝(－8，1)，
＝.
下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2) B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2)
解析：选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．
已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．
解析：因为a∥b，所以＝，解得y＝－4.
答案：－4
平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
【解】 (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，故a＝(2，2)．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)因为＝＋
＝(2，2)＋
＝.
所以点B的坐标为(2－，2＋)．
平面内求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，
y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
平面向量的坐标运算
(1)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
【解】 (1)由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，
所以2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，
所以a＝(3，5)，
2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2)．
(2)法一(待定系数法)：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，
所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，
＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0，20)，N(9，2)，
＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二(几何意义法)：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，
故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求＋2，－的坐标．
解：因为＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
所以＋2＝(－2，10)＋2(－8，4)
＝(－2，10)＋(－16，8)＝(－18，18)，
－＝(－8，4)－(－10，14)
＝(－8，4)－(－5，7)＝(－3，－3)．
判定直线平行、三点共线
(1)已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【解】 (1)选C.设C(6，y)，因为∥，
又＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，
所以－8×(y＋6)－3×8＝0，
所以y＝－9.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)．
又2×2－4×1＝0，所以∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，
所以AB∥CD.
向量共线的判定方法
已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
证明：由题得，＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
因为7×4－×8＝0，
所以∥，且，有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
已知平面向量共线求参数
已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解】 法一(共线向量定理法)：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二(坐标法)：由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
已知平面向量共线求参数的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
已知a＝(1，1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是________．
解析：因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，
即λ＝x2－x＝－≥－，
所以λ的最小值为－.
答案：－
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A．a＝(0，0)，b＝(2，3)
B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6)
C．a＝(4，6)，b＝(6，9)
D．a＝(2，3)，b＝(－4，6)
解析：选D.只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D.
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是( )
A．(1，－2) B．(9，3)
C．(－2，4) D．(－4，－8)
解析：选D.由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D.
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．
解析：设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1，2)．
答案：(－1，2)
5．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
答案：
[A 基础达标]
1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：选B.A中向量e1 为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2；D中e1＝4e2，所以e1∥e2，故选B.
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8，1) B.
C. D．(8，－1)
解析：选C.因为＝，所以－＝(－)，＝＋＝(3，－2)＋(－5，－1)＝，
即点P坐标为.
3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
解析：选D.由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，
所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：选D.因为4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
5．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若＝＋m，且点P在y轴上，则m＝( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选B.设P(x，y)，由题意＝m，
所以所以P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，所以－5m＋1＝0，m＝.
6．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
因为∥，所以－(x＋1)＋24＝0，所以x＝23.
答案：23
7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________．
解析：由c＝λ1a＋λ2b，
得(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)，
所以解得λ1＝－1，λ2＝2，
所以λ1＋λ2＝1.
答案：1
9．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，1)，c＝(5，2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(1，1)，
所以a＋b＝(2，1)＋(1，1)＝(3，2)．
(2)因为b＝(1，1)，c＝(5，2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1，1)＋(5，2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2，1)，
且a与m平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
所以解得
[B 能力提升]
11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
设C(x，－x)，则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以?λ＝.
12．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
13．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
因为＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)，
所以3(1－m)≠2－m，即m≠.
答案：m≠
[C 拓展探究]
14．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段P1P2 上不同于P1，P2 的点，且满足＝λ.
(1)用P1，P2 的坐标表示P的坐标；
(2)当λ＝0，1时，P，P1，P2 之间有何关系？
解：(1)因为＝λ，
所以(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
解得
所以点P的坐标为(，)．
(2)当λ＝0时，P点的坐标为(x1，y1)，即点P，P1 重合；
当λ＝1时，P点的坐标为(，)，即点P为P1P2 的中点．
课件44张PPT。第六章 平面向量初步第六章 平面向量初步垂直垂直正交基底正交分解√×√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：选B.A中向量e1 为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2；D中e1＝4e2，所以e1∥e2，故选B.
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8，1) B.
C. D．(8，－1)
解析：选C.因为＝，所以－＝(－)，＝＋＝(3，－2)＋(－5，－1)＝，
即点P坐标为.
3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
解析：选D.由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，
所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：选D.因为4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
5．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若＝＋m，且点P在y轴上，则m＝( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选B.设P(x，y)，由题意＝m，
所以所以P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，所以－5m＋1＝0，m＝.
6．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
因为∥，所以－(x＋1)＋24＝0，所以x＝23.
答案：23
7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________．
解析：由c＝λ1a＋λ2b，
得(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)，
所以解得λ1＝－1，λ2＝2，
所以λ1＋λ2＝1.
答案：1
9．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，1)，c＝(5，2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(1，1)，
所以a＋b＝(2，1)＋(1，1)＝(3，2)．
(2)因为b＝(1，1)，c＝(5，2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1，1)＋(5，2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2，1)，
且a与m平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
所以解得
[B 能力提升]
11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
设C(x，－x)，则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以?λ＝.
12．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
13．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
因为＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)，
所以3(1－m)≠2－m，即m≠.
答案：m≠
[C 拓展探究]
14．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段P1P2 上不同于P1，P2 的点，且满足＝λ.
(1)用P1，P2 的坐标表示P的坐标；
(2)当λ＝0，1时，P，P1，P2 之间有何关系？
解：(1)因为＝λ，
所以(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
解得
所以点P的坐标为(，)．
(2)当λ＝0时，P点的坐标为(x1，y1)，即点P，P1 重合；
当λ＝1时，P点的坐标为(，)，即点P为P1P2 的中点．
