1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.
2．(2019·龙岩模拟) 如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b； ②＝a－b；
③＝a－b； ④＝a＋b.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C.①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C.
3．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
解析：选D.因为表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，
所以a与b必须方向相同才能满足＝.故选D.
4．在△ABC中， 点D和E分别在BC，AC上， 且＝，＝， AD与BE交于R, 证明＝.
证明：由A、D、R三点共线，可得＝λ＋(1－λ)
＝λ＋(1－λ).
由B、E、R三点共线，可得＝μ＋(1－μ)＝μ＋.
所以λ＝μ，1－λ＝，
解得λ＝，μ＝，
所以＝＋，
所以＝－＝－，
＝－＝－(＋)＝－
＝(－)＝.
章末复习提升课
平面向量的有关概念
给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【解析】 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．
【答案】 D
对于向量的概念应注意三点
(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示．
(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
1．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.只有④正确．
2．设a0 为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0 平行，则a＝|a|a0；③若a与a0 平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0 平行，则a与a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
平面向量的线性运算
平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________．
【解析】 因为＝，所以－＝(－)．
所以＝2－＝(3，－6)，
所以点C坐标为(3，－6)．
由||＝||，且E在DC的延长线上，
所以＝－.设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得
解得即E.
【答案】 (，－7)
(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝.
向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．
(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．
(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．
如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋
＝(m－1)＋.
＝＋＝－＋.
因为与共线，
所以(m－1)＋＝0，
所以m＝.
答案：
共线向量基本定理的应用
已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝________．
【解析】 因为a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．
所以a－tb与a－(a＋b)共线．
即a－tb与a－b共线．
所以存在实数λ，使a－tb＝λ，
所以
解得λ＝，t＝，
即t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．
【答案】
已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的等价条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D.因为A、B、C三点共线，所以∥，
设＝m(m≠0)，所以
所以λμ＝1，故选D.
平面向量基本定理的应用
如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设＝p，＝q，求＋的值．
【解】 (1)设＝xa＋yb，
则＝－＝(x－1)＋y＝(x－1)a＋yb，＝－＝－a＋b，，
因为A，M，D三点共线，所以，共线，从而(x－1)＝－y①，
又C，M，B三点共线，所以，共线，同理可得(y－1)＝－x②，
联立①②，解得，故＝a＋b.
(2)因为＝－＝a＋b－pa＝(－p)a＋b.
＝－＝qb－pa.
因为，共线，所以(－p)q＝－p，整理得＋＝5.
平面向量基本定理的应用
运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
解：因为M为BC的中点，
所以＝＝(－)＝(b－a)，
＝(＋)＝(a＋b)．
因为DN∥BM，AN与AM共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝λ(b－a)，
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝(－)a＋b，
所以根据平面向量基本定理，得
解得所以＝(b－a)＝－a＋b.
平面向量线性运算的应用
如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
【证明】 设＝m，＝n.
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n.
＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n，
所以＝.
又O为和的公共点，所以点E，O，F在同一直线上．
向量的线性运算解决几何、物理中的实际问题关键是把所涉及的量用向量形式表达出来，通过向量的线性运算，最后再返回到几何、物理问题本身．
如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
解：设＝v0，＝v1，＝v2
则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且||＝AC＝，如图所示，
则在直角△OAC中，|v2|＝OC＝＝2，
tan∠AOC＝＝，又α＝∠AOC∈(0，)，所以α＝.
(2)由题意知α＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，BC＝1，如图所示，
则在Rt△OBC中，|v1|＝OB＝＝2，
tan∠BOC＝＝，又∠AOC∈(0，)，所以∠BOC＝，则β＝＋＝.
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.
2．(2019·龙岩模拟) 如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b； ②＝a－b；
③＝a－b； ④＝a＋b.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C.①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C.
3．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
解析：选D.因为表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，
所以a与b必须方向相同才能满足＝.故选D.
4．在△ABC中， 点D和E分别在BC，AC上， 且＝，＝， AD与BE交于R, 证明＝.
证明：由A、D、R三点共线，可得＝λ＋(1－λ)
＝λ＋(1－λ).
由B、E、R三点共线，可得＝μ＋(1－μ)＝μ＋.
所以λ＝μ，1－λ＝，
解得λ＝，μ＝，
所以＝＋，
所以＝－＝－，
＝－＝－(＋)＝－
＝(－)＝.
课件31张PPT。第六章 平面向量初步本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(六)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③
C．①③ D．①②
解析：选A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
2．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2，16) B．(－2，－16)
C．(4，16) D．(2，0)
解析：选A.设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，
所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．
所以所以故选A.
3．设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若＝λ1＋λ2，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选A.O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，
则a＋b＋c＝0，
所以a＋b(＋)＋c(＋)＝0，
所以(a＋b＋c)＝b＋c，
所以＝＋.
又＝λ1＋λ2，所以λ1＝，λ2＝，
所以＝.
4．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：选A.利用向量加法的平行四边形法则．
在?ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
6．设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为反向的共线向量；选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
7．(2019·山东枣庄月考)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝( )
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
解析：选C.如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝(＋)＝＝－a＋b.
8.已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
解析：选B.由题意得＝(＋)，
所以2＝＋，①
同理得2＝＋＝－＋(－)
＝－2＋，
即2＝－2＋.②
①×2＋②得4＋2＝3，
即4b＋2a＝3，
所以＝a＋b.选B.
9.如图所示，△ABC中，AD＝AB，BE＝BC，则＝( )
A.－
B.－
C.－
D.－
解析：选D.＝＋＝＋(－)
＝－，故选D.
10．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A.因为D是AC的中点，所以＋＝0.
又因为＋＋＝0，
所以＝－(＋)＝－(－＋－)，
即＝3，故＝，所以＝.
11．P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选A.因为＋＋＝2＝2(－)，
所以3＝－＝，所以∥，且方向相同，
所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2.
12．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m?p＝m成立，则向量p为( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(0，－1)
解析：选A.因为m?p＝m，
即(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
所以
即
由于对任意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立．
所以解得
所以p＝(1，0)．故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.
答案：
14．在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________．
解析：由题设可得＋＝3(－)，即4＝3＋，亦即＝＋，则x＝，y＝，故＝3.
答案：3
15．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________．(用e1，e2 表示)
解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2
16．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2，
因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即λ＝2μ，因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
即μ的取值范围是.
答案：
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设x，y是实数，分别按下列条件，用xa＋yb的形式表示c.
(1)若a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(－3，－5)；
(2)若a＝(5，2)，b＝(－4，3)，c＝(－3，－5)．
解：(1)c＝(－3，－5)＝x(1，0)＋y(0，1)＝(x，y)，所以x＝－3，y＝－5，所以c＝－3a－5b.
(2)c＝(－3，－5)＝xa＋yb＝x(5，2)＋y(－4，3)＝(5x－4y，2x＋3y)，
所以
所以所以c＝－a－b.
18.(本小题满分12分)如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在三角形BCD中，G、F分别为CD、CB的中点，
所以＝，＝.
所以＝－＝(－)＝，
同理可得＝.
所以＝，即，共线，
又因为G、F、H、E四点不在同一直线上，
所以GF平行HE且GF＝HE
所以四边形EFGH是平行四边形
19．(本小题满分12分)M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC，CE上的点，且＝＝λ.若B，M，N三点共线，试求λ的值．
解：作出示意图，如图所示，延长EA，CB交于点P，设正六边形ABCDEF的边长为1，则EC＝AE＝，∠PEC＝60°，∠PCE＝90°，
所以PC＝3，PE＝2.
则在△EPC中，＝，＝λ，A为EP中点，可得＝＝.又＝λ，所以＝(1－λ)，因此＝1－λ，解得λ＝.
20.(本小题满分12分)如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以{a，b}为基底表示.
解：因为A，M，D三点共线，
所以＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
又因为C，M，B三点共线，
所以＝t＋(1－t)＝tb＋a，
由解得
所以＝a＋b.
21．(本小题满分12分)已知e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以＝.设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)，
因为＝(－7，－2)，所以解得
即点A的坐标为(10，7)．
22．(本小题满分12分)(1)已知A、B、P三点共线，O为任意一点，若＝m＋n.求证m＋n＝1；
(2)如图所示，已知△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.设＝a，＝b.若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)证明：因为A、B、P三点共线，所以可设＝μ，
所以＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)·＋μ，又因为＝m＋n，所以，所以m＋n＝1.
(2)由C、D、E三点共线，可设＝k，因为OD＝2DB，所以＝＝b，又＝2，
所以＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2a－b，
所以＝－＝b－(2a－b)＝b－2a，
所以＝k＝kb－2ka，而＝λ＝λa，
所以＝－＝λa－(2a－b)＝b＋(λ－2)a，
所以，解得λ＝，
故实数λ＝.
