6．1.2 向量的加法
考点
学习目标
核心素养
向量加法的概念
理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律
数学抽象
向量加法的运算法则
掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算
数学运算
数与向量的类比
数的加法与向量的加法的联系与区别
逻辑推理
问题导学
预习教材P137－P141的内容，思考以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
2．向量的加法如何定义？
3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
对任意向量a，有a＋00＋a＝a．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．
3．多个向量相加
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．例如
(a＋b)＋(c＋d)＝a＋[(b＋c)＋d]＝[(d＋c)＋a]＋b.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( )
(2)＋＝0.( )
(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.＋＋＝＋＋＝.
边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝( )
A．2 B．
C．1 D．2
答案：B
如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________．
解析：由平行四边形法则可知＋＝.
答案：
向量加法运算法则的应用
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b.
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
【解】 (1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
故填①，②，③.
(2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
1．[变问法]在例1(1)条件下，求＋.
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.
2．[变问法]在例1(1)图形中求作向量＋＋.
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝.作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________．
解析：(1)＋＝＋＝；
(2)＋＋＝＋＝＋＝；
(3)＋＋＝＋＋＝.
答案：(1) (2) (3)
向量加法运算律的应用
(1)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．(将正确结论的序号填在横线上)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
【解】 (1)由条件得，(＋)＋(＋)＝0＝a，故①③正确．
(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________．
解析：|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
向量加法的实际应用
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
【解】 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
所以||＝||·cos 30°
＝10×＝5，
||＝||cos 60°＝10×＝5.
所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝
＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
所以飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
1．化简＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.＋＋＝.
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
解析：选C.在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD(图略)，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1.
答案：1
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8 km 东北方向
[A 基础达标]
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.
A．②③ B．②
C．① D．③
解析：选B.②错误，＋＝0，①③正确．
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
解析：选A.因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．
3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
解析：选D.A、B、C正确；D错误．
由题意知CFDE是平行四边形，
所以＝，
＋＋＝＋＋＝.
4．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
解析：选A.根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．
6．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于________．
解析：(＋)＋(＋)＋
＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＝.
答案：
7．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________．
解析：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
8．设正六边形ABCDEF，若＝m，＝n，则＝________．
解析：如图，＝＝m，
所以＝＋＝n＋m.
答案：n＋m
9.如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
解：以BA，BC为邻边作?ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作?ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
10．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
证明：因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，所以＋＝＋.
[B 能力提升]
11．已知△ABC是正三角形，给出下列等式：
①|＋|＝|＋|；
②|＋|＝|＋|；
③|＋|＝|＋|；
④|＋＋|＝|＋＋|.
其中正确的等式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.对于①，|＋|＝||，|＋|＝||，因为△ABC是等边三角形可得①对；对于②，设AC的中点O，由平行四边形法则可知|＋|＝2||≠||＝|＋|，故②不对；对于③，与②中|＋|变形类似可知|＋|＝|＋|，故③对；对于④，|＋＋|＝|＋|＝2||，|＋＋|＝|＋|＝2||，故④对．
12．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D.设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|＋|＝2||，又|＋|＝，
故||＝，
所以BO＝CO＝，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．
13．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.
答案：[0，2]
[C 拓展探究])
14.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1 三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
课件40张PPT。第六章 平面向量初步第六章 平面向量初步和三角形法则平行四边形法则√√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.
A．②③ B．②
C．① D．③
解析：选B.②错误，＋＝0，①③正确．
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
解析：选A.因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．
3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
解析：选D.A、B、C正确；D错误．
由题意知CFDE是平行四边形，
所以＝，
＋＋＝＋＋＝.
4．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
解析：选A.根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．
6．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于________．
解析：(＋)＋(＋)＋
＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＝.
答案：
7．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________．
解析：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
8．设正六边形ABCDEF，若＝m，＝n，则＝________．
解析：如图，＝＝m，
所以＝＋＝n＋m.
答案：n＋m
9.如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
解：以BA，BC为邻边作?ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作?ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
10．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
证明：因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，所以＋＝＋.
[B 能力提升]
11．已知△ABC是正三角形，给出下列等式：
①|＋|＝|＋|；
②|＋|＝|＋|；
③|＋|＝|＋|；
④|＋＋|＝|＋＋|.
其中正确的等式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.对于①，|＋|＝||，|＋|＝||，因为△ABC是等边三角形可得①对；对于②，设AC的中点O，由平行四边形法则可知|＋|＝2||≠||＝|＋|，故②不对；对于③，与②中|＋|变形类似可知|＋|＝|＋|，故③对；对于④，|＋＋|＝|＋|＝2||，|＋＋|＝|＋|＝2||，故④对．
12．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D.设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|＋|＝2||，又|＋|＝，
故||＝，
所以BO＝CO＝，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．
13．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.
答案：[0，2]
[C 拓展探究])
14.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1 三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
