6．1.3 向量的减法
考点
学习目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算
数学运算
与向量加法的关系
能将向量的减法运算转化为向量的加法运算
数学建模、逻辑推理
问题导学
预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：
1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝.上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0．
不难看出，a＋(－a)＝0，＋(－)＝0．
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．( )
(2)若b是a的相反向量，则a∥b.( )
(3)向量的相反向量是，且＝－.( )
(4)－＝.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
解析：选B.原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
如图，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________．
解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.
答案：a＋b b－a
在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
答案：，
向量减法的几何意义
如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
向量加减法的运算及简单应用
(1)化简：①＋－＝________；
②＋(＋)＋＝________；
③－－－＝________．
(2)如图，①用a，b表示；
②用b，c表示.
【解】 (1)①＋－＝＋(－)＝＋＝0；
②＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；
③－－－＝(－)－(＋)＝.
故填①0，0，.
(2)因为＝a，＝b，＝c.
①＝－＝－－＝－a－b.
②＝－＝－(＋)＝－b－c.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
(3)与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算．
如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示下列向量．
(1)＝________；(2)＝________；
(3)＝________；(4)＝________．
解析：因为四边形ACDE为平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
所以＝＋＝b－a＋c.
答案：(1)c (2)b－a (3)c－a (4)b－a＋c
向量减法几何意义的应用
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
【解】 因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
所以|－|的取值范围为[3，15]．
[变条件，变问法]将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
解：因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3，
当与反向时，||＝13，
所以||的取值范围是[3，13]．
(1)用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量．
②化归为向量问题，进行向量运算．
③将向量问题还原为平面几何问题．
(2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
解析：选B.因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为|－|＝|－|，所以||＝||.
所以四边形ABCD为矩形．
1．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.－＝＝.
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.
正确的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．
3．化简－＋－＝________．
解析：－＋－
＝(＋)＋(－)
＝＋
＝0.
答案：0
4．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13.
答案：13
[A 基础达标]
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析：选C.因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，－＝0，
－＝＋＝，
－＝，
＋＝＋＝0，故只有C错误．
2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A.＝＋＋＝a－b＋c.
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
解析：选C.a－b必定与a是平行向量．
4．下列各式中不能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
解析：选D.选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝，D不能化简为.
5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
解析：选C.当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________．
解析：因为D是边BC的中点，
所以－＋
＝＋－
＝－＝0.
答案：0
7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)
解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
8．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________．
解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
－＝＋
＝＋＝.
易求得AD＝，即||＝.
所以|－|＝.
答案：
9.已知O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；(2)a－b－c.
解：(1)以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝，如图①所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图②，以，为邻边作?OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.
10．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，证明△ABC是直角三角形．
证明：因为－＋－＝＋，－＝＝－，
又|－|＝|－＋－|，
所以|－|＝|＋|，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，
所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
[B 能力提升]
11．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C.如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
12.如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.因为四边形ACDF是平行四边形，
所以－＋＝＋＝，－＋＝＋＋＝，＋＝＋＝，－＝.
因为四边形ABDE是平行四边形，所以＋＝.综上知与－＋相等的向量是①④.
13.如图所示，点O到?ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则＝________(用r1，r2，r3 表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋－＝r3＋r1－r2.
答案：r3＋r1－r2
14．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
解：由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
所以△OAB为正三角形，
所以|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
[C 拓展探究]
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在的直线垂直，
所以AC⊥BD.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，
即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
因为矩形的对角线相等，
所以当a与b所在的直线垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，因为?ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．
课件31张PPT。第六章 平面向量初步第六章 平面向量初步三角形法则方向相反大小相等000×√√×本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
解析：选C.因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，－＝0，
－＝＋＝，
－＝，
＋＝＋＝0，故只有C错误．
2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A.＝＋＋＝a－b＋c.
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
解析：选C.a－b必定与a是平行向量．
4．下列各式中不能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
解析：选D.选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝，D不能化简为.
5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
解析：选C.当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________．
解析：因为D是边BC的中点，
所以－＋
＝＋－
＝－＝0.
答案：0
7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)
解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
8．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________．
解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
－＝＋
＝＋＝.
易求得AD＝，即||＝.
所以|－|＝.
答案：
9.已知O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；(2)a－b－c.
解：(1)以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝，如图①所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图②，以，为邻边作?OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.
10．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，证明△ABC是直角三角形．
证明：因为－＋－＝＋，－＝＝－，
又|－|＝|－＋－|，
所以|－|＝|＋|，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，
所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
[B 能力提升]
11．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C.如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
12.如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.因为四边形ACDF是平行四边形，
所以－＋＝＋＝，－＋＝＋＋＝，＋＝＋＝，－＝.
因为四边形ABDE是平行四边形，所以＋＝.综上知与－＋相等的向量是①④.
13.如图所示，点O到?ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则＝________(用r1，r2，r3 表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋－＝r3＋r1－r2.
答案：r3＋r1－r2
14．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
解：由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
所以△OAB为正三角形，
所以|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
[C 拓展探究]
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在的直线垂直，
所以AC⊥BD.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，
即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
因为矩形的对角线相等，
所以当a与b所在的直线垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，因为?ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．
