1．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生有3 000人、研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法抽取280人，调查学生利用因特网查找学习资料的情况，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取为( )
A．65人，150人，65人 B．30人，150人，100人
C．93人，94人，93人 D．80人，120人，80人
解析：选A.抽样比为＝，所以专科生应抽取×1 300＝65(人)，本科生应抽取×3 000＝150(人)，研究生应抽取×1 300＝65(人)，故选A.
2.如图是某中学举行的校园之星评选活动中，七位评委为某位同学打出的分数的茎叶图，则该组数据的中位数和众数分别为( )
A．86，84 B．84，84
C．85，84 D．85，93
解析：选B.将打分按从小到大的顺序排列为79，84，84，84，86，87，93，则中位数为84，而众数就是出现次数最多的数，即84，故选B.
3．某题的得分情况如下：
得分/分
0
1
2
3
4
频率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( )
A．37.0% B．20.2%
C．0分 D．4分
解析：选C.根据众数的概念可知C正确．
4．同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的样本点总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B.点数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，共16个基本事件．
5．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到400只这种动物，做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚为________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以≈，解得x≈160 000.
答案：160 000
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：当a为0时，b只能取0，1两个数；当a为9时，b只能取8，9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又样本点总数为100，所以所求的概率为＝0.28.
答案：0.28
7．某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位)；
(2)从评分在[40，60)的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在[50，60)内的概率．
解：(1)由频率分布直方图，可知(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，
解得a＝0.006.
设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0，有
(0.004＋0.006＋0.022)×10＋0.028·(x0－70)＝0.5，解得x0≈76.4(分)，
故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4.
(2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在[40，50)内的人数为0.004×10×50＝2(人)，受访教职工评分在[50，60)内的人数为0.006×10×50＝3(人)．
设受访教职工评分在[40，50)内的两人分别为a1，a2，在[50，60)内的三人分别为b1，b2，b3，则从评分在[40，60)内的受访教职工中随机抽取2人，
其样本点为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种，其中2人中至少有一人评分在[50，60)内的样本点有9种，故2人中至少有1人评分在[50，60)内的概率为.
章末复习提升课
抽样方法
(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次被抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关
(2)总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
(3)某学校的高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．
【解析】 (1)在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，故选C.
(2)从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，所以符合条件依次为02，14，07，01，故第5个数为01.故选D.
(3)高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层抽样可得＝，解得x＝16.
【答案】 (1)C (2)D (3)16
抽样方法主要有简单随机抽样(抽签法，随机数表法)，分层抽样等，采取哪一种方法取决于总体的特点，有时需要综合多种抽样方法，关键是样本要有好的代表性．
1．某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．800名同学是总体
B．100名同学是样本
C．每名同学是个体
D．样本容量是100
解析：选D.据题意可知总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确．
2．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．
解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以＝，样本容量＝＝32.
答案：32
用样本的频率分布估计总体的频率分布
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【解】 (1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.
所以a＝0.005.
(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为
＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.
(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：
分数段
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
x
5
40
30
20
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
y
5
20
40
25
所以数学成绩在[50，90)之外的人数为
100－(5＋20＋40＋25)＝10.
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．
1.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选B.由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为＝0.4，故选B.
2．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为( )
A．300 B．360
C．420 D．450
解析：选B.样本中体重大于70.5公斤的频率为
(0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.
故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为2 000×0.18＝360(人)．
用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的柱形图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
(2)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
【解析】 (1)由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．故选C.
(2)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则所以
又s＝
＝
＝＝1，
所以(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1，1，3，3.
【答案】 (1)C (2)1，1，3，3
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
1．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到正确的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B.法一：因为甲＝＝29，
乙＝＝30，所以甲＜乙，
又s＝＝，
s＝＝2，
所以s甲>s乙．故可判断结论①④正确．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.
2．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：
甲：99，100，98，100，100，103；
乙：99，100，102，99，100，100.
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．
解：(1) 甲＝＝100(mm)，
乙＝＝100(mm)，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝(mm2)，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm2)．
(2)因为s＞s，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求．
随机事件的概率
对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
【解】 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
随机事件的概率是指在相同的条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．它反映的是这个事件发生的可能性的大小．
一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)，又有规律性(对大量重复试验来说)．其概率一般不好求，但可以用频率来估计．
某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，求击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解：(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
(4)不一定．
互斥事件与对立事件的概率求法
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人不放回地各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【解】 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.
总的事件数为20.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．运用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，如果彼此互斥，分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式P(A)＝1－P()求解．
某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)设事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
古典概型
从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
【解】 (1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有样本点共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的样本点是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的样本点的个数为4，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，则所有的样本点共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些样本点的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的样本点是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．
因为B中的样本点的个数为4，所以P(B)＝.
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为当b＝1时，没有满足条件的a值；
当b＝2时，a＝1；当b＝3时，a可以是1，可以是2，所以共3种情况．
而从{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，再从{1，2，3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
所以b>a的概率为＝.
随机事件的独立性
(1)甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A．0.42 B．0.12
C．0.18 D．0.28
(2)在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则这段线路能正常工作的概率为________．
【解析】 (1)所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.故选B.
(2)B，C段不能正常工作的概率为1－0.8×0.8＝0.36.线路不能正常工作的概率为0.3×0.3×0.36＝0.032 4，故能正常工作的概率为1－0.3×0.3×0.36＝0.967 6.
【答案】 (1)B (2)0.967 6
随机事件的相互独立问题关键是在审题时要判断事件之间是否相互影响，可以定量分析也可以综合分析；注意互斥事件和独立事件的区别；会用独立事件同时发生的概率计算公式解决问题．
为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第3球投进的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.分以下两种情况讨论：
(1)第2球投进，其概率为×＋×＝，第3球投进的概率为×＝；
(2)第2球投不进，其概率为1－＝，第3球投进的概率为×＝.
综上所述：第3球投进的概率为＋＝，故选D.
概率与统计的综合问题
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
【解】 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2) ＝
＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)共10个样本点，而事件A含有4个样本点：(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，
所以P(A)＝＝.
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
[25，30)
120
0.6
第二组
[30，35)
195
p
第三组
[35，40)
100
0.5
第四组
[40，45)
a
0.4
第五组
[45，50)
30
0.3
第六组
[50，55]
15
0.3
(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．
解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.频率分布直方图如下：
第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n＝＝1 000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40，45)岁年龄段的“低碳族”与[45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)岁中有4人，[45，50)岁中有2人．
设[40，45)岁中的4人为a，b，c，d，[45，50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种．其中恰有1人年龄在[40，45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率为.
1．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生有3 000人、研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法抽取280人，调查学生利用因特网查找学习资料的情况，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取为( )
A．65人，150人，65人 B．30人，150人，100人
C．93人，94人，93人 D．80人，120人，80人
解析：选A.抽样比为＝，所以专科生应抽取×1 300＝65(人)，本科生应抽取×3 000＝150(人)，研究生应抽取×1 300＝65(人)，故选A.
2.如图是某中学举行的校园之星评选活动中，七位评委为某位同学打出的分数的茎叶图，则该组数据的中位数和众数分别为( )
A．86，84 B．84，84
C．85，84 D．85，93
解析：选B.将打分按从小到大的顺序排列为79，84，84，84，86，87，93，则中位数为84，而众数就是出现次数最多的数，即84，故选B.
3．某题的得分情况如下：
得分/分
0
1
2
3
4
频率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( )
A．37.0% B．20.2%
C．0分 D．4分
解析：选C.根据众数的概念可知C正确．
4．同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的样本点总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B.点数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，共16个基本事件．
5．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到400只这种动物，做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚为________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以≈，解得x≈160 000.
答案：160 000
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：当a为0时，b只能取0，1两个数；当a为9时，b只能取8，9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又样本点总数为100，所以所求的概率为＝0.28.
答案：0.28
7．某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位)；
(2)从评分在[40，60)的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在[50，60)内的概率．
解：(1)由频率分布直方图，可知(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，
解得a＝0.006.
设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0，有
(0.004＋0.006＋0.022)×10＋0.028·(x0－70)＝0.5，解得x0≈76.4(分)，
故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4.
(2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在[40，50)内的人数为0.004×10×50＝2(人)，受访教职工评分在[50，60)内的人数为0.006×10×50＝3(人)．
设受访教职工评分在[40，50)内的两人分别为a1，a2，在[50，60)内的三人分别为b1，b2，b3，则从评分在[40，60)内的受访教职工中随机抽取2人，
其样本点为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种，其中2人中至少有一人评分在[50，60)内的样本点有9种，故2人中至少有1人评分在[50，60)内的概率为.
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(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①④正确．
2．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( )
A．193 B．192
C．191 D．190
解析：选B.1 000×＝80，求得n＝192.
3．统计某校1 000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )
A．20% B．25%
C．6% D．80%
解析：选D.从左至右，后四个小矩形的面积和等于及格率，则及格率是1－10×(0.005＋0.015)＝0.8＝80%.
4．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是( )
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
解析：选B.设zi＝2xi－3yi＋1(i＝1，2，…，n)，
则＝(z1＋z2＋…＋zn)＝(x1＋x2＋…＋xn)－(y1＋y2＋…＋yn)＋＝2－3＋1.
5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9
[23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12
[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3
则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5，43.5)内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为＝.
6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86
C．87，85，85 D．87，85，90
解析：选C.因为得85分的人数最多为4人，
所以众数为85，中位数为85，
平均数为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D.A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中的两个事件是互斥而不对立的两个事件．故选D.
8．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率P为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.所有样本点总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝.
9．若事件A、B发生的概率都大于零，则( )
A．如果A、B是互斥事件，那么A与B也是互斥事件
B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件
解析：选C.当事件A、B如图(1)所示时，A与B互斥，但A与不互斥，故A错；当事件A、B如图(2)时，A＋B是必然事件，但不是对立事件，故D错；如果A与B相互独立，则A的发生与否对B没有影响，故不是互斥事件；A与B不相互独立时也未必是互斥事件．
10．如果从不包括大、小王的扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝`.
又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－`＝.
11．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的样本点有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个样本点发生的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．
用表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A包含的样本点有1个：(a1，a2，a3)．
所以P()＝.
故P(A)＝1－P()＝1－＝.
12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是( )
A．x＝9
B．y＝8
C．乙的成绩的中位数为26
D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差
解析：选B.因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x＝9；因为乙的成绩的平均值为24，所以y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙的成绩的中位数为26；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________．
解析：因为＝＝7，所以s2＝
＝.
答案：
14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
答案：
15．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．
甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种．
所以甲，乙两人相邻而站的概率为＝.
答案：
16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
答案：
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是________；
(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
答案：(1)100；
(2)用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，补图略；
“15～20吨”部分的圆心角的度数为360°×＝79.2°.
(3)6×＝4.08(万户)，
所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个，而且这些样本点的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的样本点有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个，所以P(B)＝.
19．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）的人数.
解：（1）由分组[10，15）的频数是10，
频率是0.25知，＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，
所以10＋25＋m＋2＝40，解得m＝3.
故p＝＝0.075.
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
所以a＝＝0.125.
（2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.
20.（本小题满分12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
解：（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率可使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
21.（本小题满分12分）（2019·山东省济宁市模拟）随机抽取100名学生，测得他们的的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图所示）.
（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm以上的学生人数；
（2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；
（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1个被抽中的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知，5x＝1－5×（0.07＋0.04＋0.02＋0.01），所以x＝（1－5×0.14）＝0.06.
因此身高在170 cm以上的学生人数为100×（0.06×5＋0.04×5＋0.02×5）＝60（人）.
（2）A，B，C三组的人数分别为0.06×5×100＝30（人），
0.04×5×100＝20（人），0.02×5×100＝10（人）.
因此应该从A，B，C三组中分别抽取30×＝3（人），20×＝2（人），10×＝1（人）.
（3）在（2）的条件下，设A组的3名学生为A1，A2，A3，B组的2名学生为B1，B2，C组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取2人有15个样本点：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.
其中B组的2名学生至少有1个被抽中有9个样本点：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.
所以B组中至少有1人被抽中的概率为＝.
22.（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个数数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有样本点为
（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.
记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的样本点有
（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2），共4个.
所以P（D）＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
