[A 基础达标]
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是( )
A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨
B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨
C．可能北京和上海都没有降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析：选D.因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．
2．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.
3．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为，其中解释正确的是( )
A．4名学生中，必有1名被抽到
B．每名学生被抽到的可能性为
C．由于抽到与不被抽到有两种情况，所以不被抽到的概率为
D．以上说法都不正确
解析：选B.根据概率的意义可以知道选B.
4．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．
则对甲、乙公平的规则是( )
A．规则一和规则二 B．规则一和规则三
C．规则二和规则三 D．规则二
解析：选B.规则一每人发球的概率都是相等的，公平．规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为，不公平．
规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平．
5．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604
3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929
9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.
解析：由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在1，2，3，4，5，6中，这样的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，共5个，所求的概率约为＝.
答案：
6．某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车．某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为________．
解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6种情况，若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况符合条件．所以袁先生乘上上等车的概率P＝＝.
答案：
7．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．
解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率约为，失败的概率约为，
所以估计一年后公司收益的平均数
×10 000＝4 760(元)．
答案：4 760
8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________．
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
解析：第四面落在桌面上的概率为P＝＝0.13.
答案：0.13
9．为调查某森林内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试根据上述数据，估计此森林内约有松鼠的数量．
解：设森林内的松鼠总数为n.假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事件A＝{带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P(A)＝①，
第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m＝5，由概率的统计定义可知，P(A)≈＝②，
由①②可得：≈，所以n≈1 000，所以，此森林内约有松鼠1 000只．
[B 能力提升]
10．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45
C．0.40 D．0.35
解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一，它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10个，因此所求的概率为＝0.50.
11．如果消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的消息量为I(M)＝log2，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是( )
A．小明在第4排
B．小明在第5列
C．小明在第4排第5列
D．小明在某一排
解析：选C.本题考查了信息的理解迁移及其应用，小明在4排的概率P(A)＝，则I(A)＝log2＝log2；P(B)＝，I(B)＝log2＝log2；P(C)＝，
则I(C)＝log2；P(D)＝1，则I(D)＝1，故最大值为选项C.
12．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
13．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，
所以估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，
因此，甲应该选择路径L1，
同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，
所以估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，
因此乙应该选择路径L2.
[C 拓展探究]
14．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．
质量指标Y
[9.4，9.8)
[9.8，10.2]
(10.2，10.6]
频数
8
24
16
一年内所需维护次数
2
0
1
(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数)；
(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；
(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
解：(1)指标Y的平均值＝9.6×＋10×＋10.4×≈10.07.
(2)由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1、A2、A3；指标Y在(10.2，10.6]内的有2件，记为B1、B2；指标Y在[9.4，9.8)内的有1件，记为C.
从6件产品中随机抽取2件产品，共有样本点15个(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，C)、(A2，A3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，C)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，C)、(B1，B2)、(B1，C)、(B2，C)．
其中，指标Y都在[9.8，10.2]内的样本点有3个：(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)．
所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率为P＝＝.
(3)不妨设每件产品的售价为x元，
假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为η＝×(48x＋16×300＋8×600)＝x＋200元；
假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x＋100)元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300＝2 400元，平均每件产品的消费费用ξ＝×[48(x＋100)＋8×300]＝x＋150元．
所以该服务值得消费者购买．
5．4 统计与概率的应用
考点
学习目标
核心素养
统计与概率的意义
通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用
数学抽象
统计与概率的应用
能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题
数学抽象、数学运算
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．( )
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．( )
(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是( )
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
解析：选C.概率是指一件事情发生的可能性大小．
若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析：选D.随着n的增加，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
事件A发生的概率是，则表示的________．
解析：根据概率的含义知表示的是事件A发生的可能性大小．
答案：事件A发生的可能性的大小
统计在决策中的应用
2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3＋1＋2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．“2”中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，学科高考原始分在全省的排名越靠前，等级分越高．小明同学是2018级的高一学生．已确定了必选地理且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了化学与生物近10大联考的成绩百分比排名数据x(如x＝19的含义是指在该次考试中，成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19%)，绘制茎叶图如下．
(1)分别计算化学、生物两个学科10次联考的百分比排名的平均数和中位数；
(2)根据已学的统计知识，并结合上面的数据，帮助小明作出选择．并说明理由．
【解】 (1)化学学科10大联考的成绩百分比排名的平均数
为＝30.2，
化学学科10大联考百分比排名的中位数为26.
生物学科10大联考百分比排名的平均数
为＝29.6，
生物学科10大联考百分比排名的中位数为31.
(2)从平均数来看，小明的生物学科比化学学科百分比排名靠前，应选生物．
或者：从中位数来看，小明的化学学科比生物学科百分比排名靠前，应选化学．
统计问题中决策思想主要是利用数字特征和频率分布对一些实际问题进行预测和估计，但不能依赖单一的数字特征进行估计，而是综合各种因素做出合理的解释和判断．
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药， B药)的疗效，随机地选取18位患者服用A药，18位患者服用B药，这36位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 2.5
2．6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3
服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.6
0．5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7
(1)分别计算两组数据的平均数(小数点后保留两位小数)，从计算结果看哪种药疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？并说明理由．
A药(叶)
茎
B药(叶)
0.
1.
2.
3.
解：(1)服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为
A＝(0.6＋1.2＋2.7＋…＋3.0＋3.1＋2.3)≈2.23(h)．
服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为
B＝(3.2＋1.7＋1.9＋…＋2.5＋1.2＋2.7)≈1.67(h)．
因为2.23>1.67，所以服用A种药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药(叶)
茎
B药(叶)
6
0.
5 6 8 9
8 5 5 2 2
1.
1 2 2 3 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 3 3 2
2.
1 4 5 6 7
2 1 0
3.
2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
概率在决策中的应用
某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
【解】 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩．公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．
解：可以提出如下2个方案(答案不唯一)．
(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．
(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖．
概率在整体估计中的应用
为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1 200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．
【解】 设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈＝，故≈，解得x≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物．
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为.
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为.
(3)用频率近似等于概率，建立等式≈.
(4)求得n≈.
若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋大约能孵化出多少只小鸡．
解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝①.
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，
则P(A)≈，②
由①②得≈，解得m≈16 000.所以20 000个鸡蛋大约能孵化出16 000只小鸡．
1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A．7 840 B．160
C．16 D．784
解析：选B.8 000×98%＝7 840(件)，8 000－7 840＝160(件)．故次品件数为160件．
2．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.所含的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以两胎均是女孩的概率为.
3．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，
所以所求的概率为＝.
4．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，则碰到地雷的概率为________．
解析：由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为＝.
答案：
5．某栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)．
(1)第一次翻牌获奖的概率是多少？
(2)某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？
解：(1)第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝＝.
(2)前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝＝.
[A 基础达标]
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是( )
A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨
B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨
C．可能北京和上海都没有降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析：选D.因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．
2．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.
3．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为，其中解释正确的是( )
A．4名学生中，必有1名被抽到
B．每名学生被抽到的可能性为
C．由于抽到与不被抽到有两种情况，所以不被抽到的概率为
D．以上说法都不正确
解析：选B.根据概率的意义可以知道选B.
4．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．
则对甲、乙公平的规则是( )
A．规则一和规则二 B．规则一和规则三
C．规则二和规则三 D．规则二
解析：选B.规则一每人发球的概率都是相等的，公平．规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为，不公平．
规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平．
5．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604
3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929
9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.
解析：由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在1，2，3，4，5，6中，这样的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，共5个，所求的概率约为＝.
答案：
6．某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车．某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为________．
解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6种情况，若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况符合条件．所以袁先生乘上上等车的概率P＝＝.
答案：
7．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元．
解析：应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率约为，失败的概率约为，
所以估计一年后公司收益的平均数
×10 000＝4 760(元)．
答案：4 760
8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________．
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
解析：第四面落在桌面上的概率为P＝＝0.13.
答案：0.13
9．为调查某森林内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试根据上述数据，估计此森林内约有松鼠的数量．
解：设森林内的松鼠总数为n.假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事件A＝{带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P(A)＝①，
第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m＝5，由概率的统计定义可知，P(A)≈＝②，
由①②可得：≈，所以n≈1 000，所以，此森林内约有松鼠1 000只．
[B 能力提升]
10．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45
C．0.40 D．0.35
解析：选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一，它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10个，因此所求的概率为＝0.50.
11．如果消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的消息量为I(M)＝log2，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是( )
A．小明在第4排
B．小明在第5列
C．小明在第4排第5列
D．小明在某一排
解析：选C.本题考查了信息的理解迁移及其应用，小明在4排的概率P(A)＝，则I(A)＝log2＝log2；P(B)＝，I(B)＝log2＝log2；P(C)＝，
则I(C)＝log2；P(D)＝1，则I(D)＝1，故最大值为选项C.
12．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
13．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，
所以估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，
因此，甲应该选择路径L1，
同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，
所以估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，
因此乙应该选择路径L2.
[C 拓展探究]
14．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．
质量指标Y
[9.4，9.8)
[9.8，10.2]
(10.2，10.6]
频数
8
24
16
一年内所需维护次数
2
0
1
(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数)；
(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；
(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
解：(1)指标Y的平均值＝9.6×＋10×＋10.4×≈10.07.
(2)由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1、A2、A3；指标Y在(10.2，10.6]内的有2件，记为B1、B2；指标Y在[9.4，9.8)内的有1件，记为C.
从6件产品中随机抽取2件产品，共有样本点15个(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，C)、(A2，A3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，C)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，C)、(B1，B2)、(B1，C)、(B2，C)．
其中，指标Y都在[9.8，10.2]内的样本点有3个：(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)．
所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率为P＝＝.
(3)不妨设每件产品的售价为x元，
假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为η＝×(48x＋16×300＋8×600)＝x＋200元；
假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x＋100)元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300＝2 400元，平均每件产品的消费费用ξ＝×[48(x＋100)＋8×300]＝x＋150元．
所以该服务值得消费者购买．
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