[A组 基础巩固]
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
解析：(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2，得x2的系数为22·C＝40.
答案：B
2．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
解析：设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r，即Tr＋1＝C·(－1)r·22(6－r)x·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，令12x－3rx＝0，则r＝4，∴展开式中的常数项为T5＝C(－1)4＝15.
答案：C
3．对于二项式(＋x3)n的展开式(n∈N＋)，四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N＋，展开式中有常数项；
②对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是( )
A．①与③ B．②与③
C．①与④ D．②与④
解析：Tk＋1＝C()n－k·x3k＝Cx4k－n，可知当n＝4，k＝1时，4k－n＝0，故①正确；n＝3，k＝1时，4k－n＝1，故④正确．
答案：C
4．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为( )
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
6．(2－)6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．
解析：(2－)6的展开式通项公式是
Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝C26－r(－1)rx3－r，
由题意知3－r＝0，r＝3，所以二项展开式中的常数项为T4＝C23(－1)3＝－160.
答案：－160
7．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
解析：6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－1)r·()r·x－2r＝Cx6－3r(－1)r·()r.
令6－3r＝0，即得r＝2.故C()2＝60，解得a＝4.
答案：4
8．若(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，则展开式中第三项的二项式系数为________．
解析：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为
T2＝Cxn－1(－)1＝－nxn－1，
T4＝Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3.
由题意得＝，
即n2－3n－4＝0，
解得n＝4或n＝－1(舍去)．
所以第三项的二项式系数为C＝6.
答案：6
9．对于(＋)9的展开式，
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式的中间两项．
解析：Tr＋1＝C()9－r()r＝C·32r－9x9－r.
(1)当9－r＝0，即r＝6时展开式是常数项，即常数项为T7＝C·33＝2 268；
(2)(＋)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，
T5＝C·38－9x9－6＝42x3，
T6＝C·310－9x9－＝378x.
10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
解析：(1)二项展开式的通项为
C()n－rr＝(－3)rCx.
∵第6项为常数项，∴当r＝5时，＝0，解得n＝10.
(2)根据通项公式，由题意，得
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，
∴r＝2,5,8.
∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
[B组 能力提升]
1．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.
答案：C
2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：(1＋2)3的通项为Tr＋1＝C2rx，(1－)5的通项为Tk＋1＝(－1)kCx.要求展开式中x的系数，只需(1＋2)3中的常数项及一次项系数与(1－)5中的一次项系数及常数项分别相乘再求和，即1×(－10)＋12×1＝－10＋12＝2.
答案：C
3．若(2x2－)n(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值为________．
解析：Tr＋1＝C(2x2)n－r(－)r
＝C2n－rx2n－2r(－1)r·x－
＝(－1)r2n－rCx2n－.
令2n－＝0，得6n＝7r，
因而n必须是7的倍数，nmin＝7.
答案：7
4．二项式(＋)n展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于________．
解析：由题意得1＋n(n－1)＝2×，
解方程得：n＝8，
Tr＋1＝Cx(8－r)·(x－)r＝Cx－－·()r，
令－－＝0，得r＝2，
∴常数项为T3＝C·()2＝7.
答案：7
5．(x＋)100展开式所得关于x的多项式中系数为有理数的共有多少项？
解析：Tk＋1＝C(x)100－k()k
＝C350－·2x100－k，
若第k＋1项的系数为有理数，则50－，均为整数，故k为6的倍数时，第k＋1项的系数为有理数．
∵0≤k≤100，∴k＝6×0,6×1,6×2，…，6×16时，项的系数为有理数，故有17项系数为有理数．
6．(1)求(1＋x＋x2)8的展开式中x5的系数；
(2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数．
解析：(1)∵(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，
∴Tr＋1＝C(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r来决定．
T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k，令r＋k＝5，
解之得或或
∴含x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.
(2)解法一 (1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3
＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，
故x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.
解法二 ∵(1＋x)2的通项Tr＋1＝C·xr，
(1－x)5的通项Tk＋1＝(－1)k·C·xk，
∴(1＋x)2·(1－x)5的通项为(－1)k·C·C·xk＋r(其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5})，令k＋r＝3.
则有或或
∴x3的系数为－C＋C·C－C＝5.
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