章末检测(一) 计数原理
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x，m∈N*且m<19A．A B．A
C．A D．A
解析：由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大的数x－m，上标是“连乘数”的个数，即(x－m)－(x－19)＋1＝20－m.
∴(x－m)(x－m－1)…(x－19)＝A.
答案：B
2．一间谍飞机侵入领空，三架战机奉命拦截，要求三架战机分别位于敌机左右两翼和后方形成三角之势，则三架战机的不同排列方式有( )
A．3种 B．6种
C．9种 D．12种
解析：三架战机的不同排法共有A＝6(种)．
答案：B
3．若C－C＝C，则n等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：由题意得C＝C＋C＝C，
∴n＋1＝7＋8，即n＝14.
答案：C
4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
解析：不同的排法有4AA＝960(种)．
答案：B
5．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( )
A．480 B．240
C．120 D．96
解析：先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，
∴分法数为C·A＝240.
答案：B
6．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
答案：B
7．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24
C．48 D．120
解析：要完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，需分以下四步：
第一步，确定个位数字，可以从2和4中选一个，有2种选法；
第二步，确定十位数字，可以从余下的4个数字中任取1个，有4种选法；
第三步，确定百位数字，可以从余下的3个数字中任取1个，有3种选法；
第四步，确定千位数字，可以从余下的2个数字中任取1个，有2种选法．
根据分步乘法计数原理可得，符合题意的偶数共有2×4×3×2＝48(个)．
答案：C
8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CA B．CA
C．CA D．CA
解析：从后排8人中选2人，有C种选法，这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先向前排4人中(5个空当)插入1个，有5种插法，余下的一人则要插入前排5人中(6个空当)，有6种插法，即两人共有A种插法，所以共有CA种不同调整方法．
答案：C
9．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
解析：对于5，Tr＋1＝C5－r(－1)r＝(－1)rCx2r－10.
故(x2＋2)5的展开式的常数项为x2·C(－1)4x－2＋2C(－1)5x0＝3.
答案：B
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步先确定函数值1的原像：因为y＝x2，当y＝1时，x＝1或x＝－1，因此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值4的原像，因为y＝4时，x＝2或x＝－2，因此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步乘法计数原理，得到3×3＝9(个)．
答案：C
11．如果(1－2x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么a1＋a2＋…＋a9的值等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：令x＝0，则有(1－2×0)9＝a0，∴a0＝1，
再令x＝1，则有(1－2×1)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
∴a1＋a2＋…＋a9＝－1－a0＝－2.
答案：A
12．已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有( )
A．120种 B．81种
C．72种 D．27种
解析：分两类：第一类，2个儿童住在一个房间，由于儿童必须由成人陪入住，故他们必住在房间A，再从3个成人中选一个陪同，其余两人选择入住B和C房间，故有CC＋CA＝9种入住方式；第二类，2个儿童不住在一个房间，先安排他们住A、B房间，有A种方式，再排3个成人有A＋C种方式，故有A(A＋C)＝18种入住方式，故共有9＋18＝27种入住方式．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．
解析：x7的展开式的通项是Tr＋1＝xCx7－r·r＝C(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是C·4＝84.
答案：84
14．如图是一个正方体纸盒的展开图，把复数1，－1,2i，－2i，，－分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数的模相等，则不同的填法有________种(用数字作答)．
解析：由题中图可知，按图中虚线折成正方体后，相对的面分别为：①与③，②与⑥，④与⑤，在这3组相对的面上分别填入1与－1,2i与－2i，与－这3对数，有A种方法；而每一组相对的面填入一对数时都有A种方法．
由分步乘法计数原理，共有A·A·A·A＝48种不同的填法．
答案：48
15．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．
解析：将图中五个点分成三组：AC、BD、E；AC、BE、D；AD、BE、C；AD、CE、B；BD、CE、A共五种情况．
对于每一种情况如AC、BD、E的染色方法：AC选取一种颜色的方法有3种；第二步染BD，有2种；E只剩一种颜色染色，因而分步做完染色这件事的方法种数有3×2×1＝6(种)；
所以共有染色方法种数为6×5＝30.
答案：30
16．某国际旅行社招聘了10名翻译人员，其中6人会说朝鲜语，6人会说日语，现打算从10人中选4人作朝鲜语翻译，4人作日语翻译，分别带团赴朝日观光，则不同的选派翻译的方法有________种(用数字作答)．
解析：根据题意，可知其中2人既会说朝鲜语又会说日语，以“多面手”去翻译朝鲜语的人数作为分类的标准，进行分类讨论，即：(1)派2人，则有CC种选派方法；(2)派1人，则有CCC种选派方法；(3)不派人，则有CC种选派方法．
故共有CC＋CCC＋CC＝61种选派方法．
答案：61
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？
解析：先填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的第二、三志愿有A种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B、C两校有C种填法，剩余的一个志愿栏有A种填法．由分步乘法计数原理知，此考生不同的填表方法共有ACA＝270(种)．
18．(12分)把由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…，直到末项(第120项)是54 321.问：
(1)43 251是第几项？
(2)第93项是怎样的一个五位数？
解析：(1)由题意知，共有五位数为A＝120(个)．
比43 251大的数有下列几类：
①万位数是5的有A＝24(个)；
②万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)；
③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A＝2(个)．
∴比43 251大的数共有A＋A＋A＝32(个)．
∴43 251是第120－32＝88(项)．
(2)从(1)知万位数是5的有A＝24(个)，万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)．
但比第93项大的数有120－93＝27(个)，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，从此可见第93项是45 213.
19．(12分)某市有7条南北向街道，5条东西向街道，如图所示．
(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点走到B点的最短路线的走法有多少种？
解析：(1)在7条纵线中任选2条，在5条横线中任选2条，这样的4条线可以组成1个矩形，
故组成的矩形有CC＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C＝C＝210种走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．
20．(12分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
解析：(1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为C＋C＝C＋C＝＋＝n2－19n＋171＝2＋，
∵n∈N＋.
∴当n＝9或n＝10时，
x2的系数取最小值2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.
21．(12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
解析：(1)将取出的4个球分成三种情况：
①取4个红球，没有白球，有C种；
②取3个红球1个白球，有CC种；
③取2个红球2个白球，有CC种，故有C＋CC＋CC＝115(种)．
(2)设取x个红球，y个白球，
则
故或或
因此，符合题意的取法种数有CC＋CC＋CC＝186.
22．(14分)已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．
解析：∵(－)n的展开式的通项是
Tr＋1＝C()n－r(－)r＝(－2)rCx，
∴T5＝T4＋1＝24Cx，
T3＝T2＋1＝22Cx.
∴＝，
∴n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)，
(1)令x＝1，则(－)8展开式中各项系数的和为1.
(2)展开式通项为
Tr＋1＝(－2)rCx，
令＝，得r＝1.
∴展开式中含x的项为
T2＝T1＋1＝(－2)1Cx＝－16x.
(3)展开式的第r项、第r＋1项、第r＋2项的系数绝对值分别为C2r－1，C2r，C2r＋1，
若第r＋1项的系数绝对值最大，则有
解得5≤r≤6，
故系数的绝对值最大的项为第六项和第七项，
即T6＝－1 792，T7＝1 792.
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