[A组 基础巩固]
1．下列问题：
①从1,2,3,5中任取两个不同的数相减，可得多少种不同的结果？
②从1,2,3,5中任取两个不同的数相乘，可得多少种不同的结果？
③一条公路线上有12个车站，共需准备多少种客车票？
其中是排列问题的有( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：由排列的定义可知①③是排列问题，②与顺序无关，不是排列问题，故选B.
答案：B
2．若x是正整数，且x<55，则(55－x)(56－x)…(68－x)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
解析：由排列数公式或特殊值法知B正确．
答案：B
3．5A＋4A等于( )
A．107 B．323
C．320 D．348
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D
4．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是( )
A．1 B．5
C．20 D．120
解析：A＝5×4×3×2×1＝120.
答案：D
5．从6本不同的书中选出2本送给两名同学，每人一本的送法种数为( )
A．6 B．12
C．30 D．36
解析：相当于从6个不同元素中选2个进行排列，其送法有A＝30(种)．
答案：C
6．如果A＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________.
解析：易知n＝17，又4＝n－m＋1＝18－m，∴m＝14.
答案：17 14
7．已知A－A＝10，则n的值为________．
解析：由A－A＝10，
得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
答案：5
8．满足不等式＞12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式得＞12.
即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.
又n≥7，所以n＞9, 且n∈N＋，所以nmin＝10.
答案：10
9．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？将它们列出来．
解析：先确定起点，有3种方法，再确定终点，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共需要3×2＝6种不同的机票．
列举如下：
10．(1)有6种不同的书，需买4本送给4名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有6本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解析：(1)每位同学均有6种不同的选择，根据分步乘法计数原理，共有64＝1 296种送法．
(2)每一种选法并送给3个同学都对应一个排列，因此共有A＝120种送法．
[B组 能力提升]
1．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )
A．16种 B．6种
C．15种 D．12种
解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A＝12种方案．
答案：D
2．A＋A＝________.
解析：由n＋3≤2n，n＋1≤4，且n∈N*，∴n＝3.
∴A＋A＝6！＋4！＝744.
答案：744
3．把10本不同的书分给10名同学，则不同的分法有____________种．
解析：该问题转化为从10个不同元素中取出10个不同的元素，按照一定的顺序排列，共有A种，即10！种．
答案：10!
4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
解析：分三类完成：
第一类，挂1面旗表示信号，有A种不同信号；
第二类，挂2面旗表示信号，有A种不同信号；
第三类，挂3面旗表示信号，有A种不同信号．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
答案：15
5．(1)有5个不同的科研课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的报名方法？
(2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的报名方法？
解析：(1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是A＝5×4×3＝60(种)．
(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且都选择完才算做完这件事，由分步乘法计数原理知5×5×5＝125种方法．
6．一条铁路线上原有n个车站，为适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解析：∵原有n个车站，∴原有客运车票A种．又现有(n＋m)个车站，现有客运车票A种．
由题设知：A－A＝62，
∴(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
∴2mn＋m2－m＝62，
∴n＝－(m－1)，
∴>(m－1)，
∴62>m(m－1)，即m2－m－62<0，
又m>1，∴1∴1当m＝3,4,5,6,7,8时，n均不为整数．
∴n＝15，m＝2.
∴原有15个车站，现有17个车站．
课件24张PPT。
[A组 基础巩固]
1．从4男3女志愿者中，选1女2男分别到A，B，C地执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种 B．108种
C．210种 D．72种
解析：选1女派往某地有方法A·A种，选2男派往另外两地有A种方法，则不同的选派方法共有A·A·A＝108(种)．
答案：B
2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )
A．36 B．32
C．28 D．24
解析：分类：①若5在首位或末位，共有2A·A＝24(个)；②若5在中间三位，共有A·A·A＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．
答案：A
3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上，则不同的停车方案有( )
A．24种 B．78种
C．96种 D．120种
解析：∵A车不停在1号车位上，∴可先将A车停在其他四个车位中的任何一个车位上，有4种可能；然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A种停法，由分步乘法计数原理得，共有4×A＝4×24＝96种停车方案．
答案：C
4．会议室第一排共有5个座位，现要在座位之间放入3张茶台，若要求每张茶台左右均有座位，那么不同的排法种数为( )
A．12 B．16
C．24 D．32
解析：将三张茶台插入五个座位中间的四个空档中，有A＝24种排法．
答案：C
5．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有( )
A．A·A种 B．A·A·A种
C．A·A·A种 D．A·A·A种
解析：第一步：确定4幅油画的相对位置(捆在一起)的方法数为A；
第二步：确定5幅国画的相对位置(捆在一起)的方法数为A；
第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数为A，再把水彩画插在国画和油画之间为A.
所以满足条件的陈列方式有A·A·A种，故选D.
答案：D
6．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是________．
解析：间接法，得A－2A＝12.
答案：12
7．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．
解析：分两类求解：
第一类：甲、乙排1、2号或6、7号，共有2×AAA种排法；
第二类：甲、乙排在1号和7号之间，丙排7号或不排7号，共有4A(A＋AAA)种排法．
故共有1 008种不同的排法．
答案：1 008
8．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)．
解析：当0在个位时，将1,2捆绑，共有A·2＝12(个)；
当2在个位时，则1只能在十位上，共有2×2×1＝4(个)；
当4在个位时，减去0在万位的情况即可，有2×A－2×A＝8(个)．
故满足条件的偶数共有12＋4＋8＝24(个)．
答案：24
9．2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
解析：4个女生排成一排，有A＝24种排法，男生不能相邻也不能排在两端，则从女生之间的3个空中选2个排上，有A＝6种不同的排法，共有24×6＝144种不同的排法．
10．喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影．(排成一排)
(1)要求喜羊羊家的四位成员必须相邻，有多少排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？
解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA＝144种排法．
(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA＝480种排法．
[B组 能力提升]
1．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种
C．72种 D．96种
解析：3人坐好，3人之间及两端形成4个空，选1个空插入2个空座位，另一空插入1个空座位即可，即A×A＝72.
答案：C
2．在1,2,3,4,5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列种数为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：分两类完成：第一类，4,5在a2，a4位置，其余3个数在a1，a3，a5三个位置全排列，共有AA种排列方法；
第二类，3,5在a2，a4位置，其排列为1,3,2,5,4；2,3,1,5,4；4,5,1,3,2；4,5,2,3,1，共4种排列方法．
由分类加法计数原理，共有AA＋4＝16种排列方法．
答案：D
3．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观劵连号，那么不同的分法种数是________．
解析：先分组后用分配法求解，5张参观劵分为4组，其中有2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
答案：96
4．一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰好有5个连续空位的坐法种数为________(用数字作答)．
解析：把五个连续空位看作1个假想元素，设为a，单独的1个空位设为b，另4人设为c1、c2、c3、c4，则问题便转化为a，b，c1，c2，c3，c4这6个元素的排列问题，其条件是a，b不相邻，采用插空法排列即可，这样恰好有5个连续空位的坐法种数为A·A＝480(种)．
答案：480
5．用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的排列？
(1)五位奇数；
(2)大于30 000的五位偶数．
解析：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法，首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．
因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13 440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0,2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况．
②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3×6×A种不同情况．
由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A＋3×6×A＝10 752(个)．
6．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(4)老师不站中间，女生不站两端．
解析：(1)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以不同站法有A·A＝1 440(种)；
(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)；
(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)；
(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：
①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A·A·A种站法；
②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法．
所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A＝960＋1 152＝2 112(种)．
课件26张PPT。
