[A组 基础巩固]
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的二元素集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1,2,3组成两位数的不同方法数；④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
解析：对于①，两个元素的集合与元素的顺序无关，是组合问题；
对于②，单循环比赛，只需两个队比赛一场，与两个队的顺序无关，是组合问题；
对于③，组成的两位数，若取出的是同一个数字，则与顺序无关，是组合问题，若两次取出的不是同一数字，则是排列问题；
对于④，由③可知是排列问题．
答案：C
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4
C．12 D．24
解析：从A、B、C、D四点中任意取出3点为顶点都能构成三角形，共有C＝4种取法，故选B.
答案：B
3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.
答案：B
4．以下四个式子中正确的个数是( )
①C＝；②A＝nA；③C÷C＝；④C＝C.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①式显然成立；
②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故②式成立；
对于③式，C÷C＝＝＝，故③式成立；
对于④式，C＝＝＝C，故④式成立．
答案：D
5．将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：CC＝12(种)．
答案：A
6．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．
解析：分三类：一年级比赛的场数是C，二年级比赛的场数是C，三年级比赛的场数是C，再由分类加法计数原理求得总赛场数为C＋C＋C＝41.
答案：41
7．如果A＝aC，则a的值是________．
解析：a＝＝＝＝5！＝120.
答案：120
8．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种______种．(结果用数字表示)
解析：设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．
由题意，得C·C≥200，
从而有C≥20.即x(x－1)≥40.
又x≥2，所以x的最小值为7.
答案：7
9．求下列各式的值．
(1)C＋C；(2)C×C－C；(3)C－C；(4)C÷C.
解析：(1)C＋C＝＋＝10＋5＝15.
(2)C×C－C＝×1－1＝45－1＝44.
(3)C－C＝－＝15－6＝9.
(4)C÷C＝÷＝20÷70＝.
10．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解析：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
[B组 能力提升]
1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
解析：甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门有C种选法．
∴共有C·C·C＝96种选法．
答案：C
2．由C＋C可得不相同的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵，∴7≤x≤9，
又x∈Z，∴x＝7,8,9.
当x＝7时，C＋C＝46；
当x＝8时，C＋C＝20；
当x＝9时，C＋C＝46.
故有两个值．
答案：B
3．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．
解析：根据结果分类：
第一类，两台甲型机，有C·C＝30(种)；
第二类，两台乙型机，有C·C＝40(种)．
根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＝70(种)．
答案：70
4．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答)．
解析：由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的书，共CC种方法；第二类是买5本2元的书，共C种方法．
∴共有CC＋C＝266(种)．
答案：266
5．解不等式C解析：解法一 n只能取0,1,2,3,4，逐个验证得n＝1,2,3,4，所以不等式解集为{1,2,3,4}．
解法二 ∵<，
∴(6－n)(5－n)<6×5，
解得0又∵0≤n≤4，n∈N，∴n＝1,2,3,4.
∴不等式的解集为{1,2,3,4}．
课件25张PPT。
[A组 基础巩固]
1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是( )
A．1 260 B．2 025
C．2 520 D．5 040
解析：N＝C·C·A＝2 520.
答案：C
2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法数共有( )
A．26 B．84
C．35 D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：C
3．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70(种)．
答案：A
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：解法一 可分两种情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30种选法．
解法二 总共有C＝35种选法，减去只选A类的C＝1种，再减去只选B类的C＝4种，故有30种选法．
答案：A
5．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：从8个顶点中任取4个有C种取法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C－12)个不同的四面体．
答案：A
6．从5名同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．
解析：从5人中选4人，有C种方法，对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，选派方法共有C(CCC)＝60(种)．
答案：60
7．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．
解析：6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14(种)．
答案：14
8．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中两点的异面直线共有________对．
解析：考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成C个三棱锥，故共有3C＝45对异面直线．
答案：45
9．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生；
(2)两名队长当选；
(3)至少有1名队长当选；
(4)至多有2名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解析：(1)1名女生，4名男生．故共有C·C＝350种选法．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种选法．
(3)至少有1名队长，含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有C·C＋C·C＝825种选法．
或采用间接法，共有C－C＝825种选法．
(4)至多有2名女生，含有三类：有2名女生，只有1名女生，没有女生．
故共有C·C＋C·C＋C＝966种选法．
(5)分两类：第一类，女队长当选有C种；第二类，女队长不当选有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种选法．
10．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？
解析：我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C·C＝48个不同的三角形；
第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C·C＝112个不同的三角形；
第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．
[B组 能力提升]
1．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )
A．16 B．21
C．24 D．90
解析：要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是C＋C＝6＋15＝21，故选B.
答案：B
2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为( )
A．76 B．78
C．81 D．84
解析：如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，其中共线的情况有8种，则组成的三角形的个数为C－8＝76.故选A.
答案：A
3．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80(种)．
答案：80
4．某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工．现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？
解析：设A、B表示2位老师傅，下面对A、B的选派情况进行分类：
(1)A、B都没选上的方法有CC＝5(种)；
(2)A、B都选上且都当钳工的方法有CCC＝10(种)；
(3)A、B都选上且都当车工的方法有CCC＝30(种)；
(4)A、B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有ACC＝80(种)；
(5)A、B有一人选上且当钳工的方法有CCC＝20(种)；
(6)A、B有一个选上且当车工的方法有CCC＝40(种)；
故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．
5．某班打算从7名男生5名女生中选取5人作为班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女生当选；
(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．
(2)从除去A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．
(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．
(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法求解．
所以有C－C·C－C＝596种选法．
(5)分三步进行：
第一步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．
第二步，选2男1女补足5人有C·C种选法．
第三步，为这3人安排工作有A种方法．
由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．
课件22张PPT。
