[A组 基础巩固]
1．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B(n，p)，则( )
A．n＝5，p＝0.1 B．n＝10，p＝0.1
C．n＝5，p＝0.9 D．n＝10，p＝0.9
解析：n＝5，p＝＝0.1.
答案：A
2．已知小王通过英语听力测试的概率是，若他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：P＝C()×(1－)2＝.
答案：D
3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设此射手射击四次命中次数为ξ，
∴ξ～B(4，p)，依题意可知，P(ξ≥1)＝.
∴1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，p＝.
答案：B
4．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
解析：P(X＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的，则P(X＝3)＝2×.
答案：C
5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：由1－Cn＞0.9，
得n＜0.1，
∴n≥4.
答案：C
6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
解析：②中概率应为C×0.93×0.1.
答案：①③
7．已知随机变量X～B(3，)，则X的分布列为________．
解析：P(X＝0)＝C()3＝，
P(X＝1)＝C·()·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·()＝，
P(X＝3)＝()3＝.
答案：
X
0
1
2
3
P
8.下列随机变量X的分布列不属于二项分布的是________．
①某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结果为优秀的概率是0.25.假设每人年度考核是相互独立的，X为考核结果为优秀的人数；
②某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后再进加油站加油的概率是0.12，且每辆车是否加油是相互独立的，某天出汽车总站有50辆汽车，X为进加油站加油的汽车数；
③某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；
④某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，X表示下载n次数据后电脑被病毒感染的次数．
解析：命题①：每人考核结果只有“优秀”“不优秀”两个对立结果，且每人考核结果为优秀是相互独立的，并且概率为常数，所以随机变量X服从二项分布；命题②：每辆车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个结果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，而且相互独立，所以随机变量X服从二项分布；命题③：在一次又一次射击中，第一次射中是我们关注的事件A，随机变量X表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量X不服从二项分布；命题④：同命题①②，可判断随机变量X服从二项分布．
答案：③
9．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率；
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．
解析：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p＝×(1－)××(1－)×＝.
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p＝C×()3×(1－)2＝.
(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C种情况，故所求概率为p＝C×()3×(1－)2＝.
10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列．
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－P＝，解得p＝.
(2)由题意，P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以，随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
[B组 能力提升]
1．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p＝，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于，则q的值为( )
A. B.
C. D.
解析：C()2C(1－q)2＋C()2(1－q2)＝，
解得q＝.
答案：C
2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C×2×5
B．C×2×5
C．C×2×5
D．C×2×2
解析：由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选B.
答案：B
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
解析：＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2，
即(1－p)2＝，p＝.
故P(Y＝2)＝C()2()1＝.
答案：
4．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．
解析：可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B(5，)，即有
P(X＝k)＝C()k()5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
5.如图是高尔顿板的改造装置示意图，小球从入口处自由下落，已知在下落过程中，小球遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋的概率P(A)；
(2)在入口处依次放入4个小球，设落入A袋中的小球个数为ξ，求ξ的分布列．
解析：(1)记“小球落入A袋中”为事件A，记“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝()4＋()4＝，从而P(A)＝1－P(B)＝；
(2)ξ可能的取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝C()0·()4＝.
P(ξ＝1)＝C()1·()3＝；
P(ξ＝2)＝C()2·()2＝；
P(ξ＝3)＝C()3·()1＝；
P(ξ＝4)＝C()4·()0＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
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