[A组 基础巩固]
1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则EX的值为( )
A. B．3.5
C．0.25 D．2
解析：EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝×10＝.
答案：A
2．已知ξ～B(n，)，η～B(n，)，且Eξ＝15，则Eη等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：因为ξ～B(n，)，所以Eξ＝，又Eξ＝15，则n＝30，所以η～B(30，)，故Eη＝30×＝10.故正确选项为B.
答案：B
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( )
A．0.70 B．6
C．4.2 D．0.42
解析：设得分X即罚中X次，故X～B(6,0.7)．
∴EX＝6×0.7＝4.2.
答案：C
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX等于( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)
＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：X＝2,3.P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故EX＝2×＋3×＝.
答案：D
6．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
X
7
8
9
10
P(ξ＝X)
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量ξ的均值是________．
解析：Eξ＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
答案：8.2
7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________．
解析：平均分数为×75＋×80＝78.
答案：78
8．一离散型随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且其数学期望Eξ＝1.5，则a－b＝________.
解析：由分布列性质知0.1＋a＋b＋0.1＝1，所以a＋b＝0.8，又Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，即a＋2b＝1.2，由以上两式可求得a＝b＝0.4.所以a－b＝0.
答案：0
9．李教授现有100万元，准备采用两种投资方案：
方案一：购买股票(形势好，可获利40万元，形势中等，可获利10万元，形势不好，损失20万元)；
方案二：存入银行(年利率8%)．
假设经济形势好、中、差的概率分别为0.3,0.5,0.2，李教授应选择哪种方案，可使投资效益较大？
解析：设购买股票收益为X，则X的分布列为：
X
400 000
100 000
－200 000
P
0.3
0.5
0.2
所以EX＝400 000×0.3＋100 000×0.5－200 000×0.2＝130 000＞80 000，
所以购买股票的投资效益较大．
10．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.
解析：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上知，X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有EX＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
[B组 能力提升]
1．甲、乙两台自动机床生产同种标准零件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如下，据此可以判断( )
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
η
0
1
2
P
0.5
0.3
0.2
A．乙比甲质量好 B．甲比乙质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判断
解析：因为Eξ＝1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，Eη＝1×0.3＋2×0.2＝0.7.又因为Eξ答案：B
2．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是( )
A. B.
C. D.
解析：试验次数ξ的可能取值为1,2,3，则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
∴Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
答案：B
3．袋中装有标有数字1的小球6个，标有数字2的小球4个，从袋中任取一个球，用X表示“取到的标有数字1的小球的个数”，即X＝则随机变量X的均值EX＝________.
解析：依题意，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，因为随机变量X服从两点分布，所以EX＝P(X＝1)＝.
答案：
4．马老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
？
！
？
请小牛同学计算X的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案EX等于________．
解：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，
则EX＝x＋2(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案：2
5．一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的数学期望．
解析：(1)∵这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，
∴P＝(1－)(1－)×＝.
(2)∵ξ～B(6，)，∴Eξ＝6×＝2.
课件26张PPT。
[A组 基础巩固]
1．若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为( )
A．3×2－2 B．2－4
C．3×2－10 D．2－8
解析：∵X～B(n，p)，∴EX＝np，DX＝np(1－p)．
∴∴
∴P(X＝1)＝C()12＝3×2－10.
答案：C
2．D(ξ－Dξ)的值为( )
A．0 B．1
C．Dξ D．2Dξ
解析：Dξ是一个常数，而常数的方差等于零，
∴D(ξ－Dξ)＝Dξ.
答案：C
3．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )
ξ
1
3
5
P
0.4
0.1
x
A.3.56 B.
C．3.2 D.
解析：依题意0.4＋0.1＋x＝1，
∴x＝0.5，
∴Eξ＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴Dξ＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，
∴＝.
答案：D
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k·()n－k，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，则Dξ的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B(n，)，
∴n＝Eξ＝24.
∴n＝36.
∴Dξ＝n××(1－)＝×36＝8.
答案：A
5．设掷1颗骰子的点数为X，则( )
A．EX＝3.5，DX＝3.52
B．EX＝3.5，DX＝
C．EX＝3.5，DX＝3.5
D．EX＝3.5，DX＝
解析：点数X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
6
P
EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，
DX＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋…＋(6－3.5)2×＝.
答案：B
6．某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0.02.若发病的牛数为X，则DX等于________．
解析：因为随机变量服从二项分布，所以DX＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
答案：0.196
7．已知X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，则p等于________．
解析：EX＝np＝7，DX＝np(1－p)＝6，∴p＝.
答案：
8．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ＝________.
解析：由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝.
答案：
9．已知随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
试求DX和D(2X－1)．
解析：EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，
DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
对于D(2X－1)，可用两种方法求解．
解法一 2X－1的概率分布如下：
2X－1
－1
1
3
5
7
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
∴E(2X－1)＝2.6.
∴D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
解法二 利用方差的性质D(aX＋b)＝a2DX.
∵DX＝1.56，∴D(2X－1)＝4DX＝4×1.56＝6.24.
10．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为.
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
解析：若按方案一执行，设收益为X万元，则其分布列为
X
4
－2
P
EX＝4×＋(－2)×＝1(万元)．
若按方案二执行，设收益为Y万元，则其分布列为
Y
2
0
－1
P
EY＝2×＋0×＋(－1)×＝1(万元)．
若按方案三执行，收益z＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)，
∴EX＝EY ＞z.
又DX＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9.
DY＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×
＝.
由上知DX＞DY，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．
∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
[B组 能力提升]
1．2016年元旦联欢会上有四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人任意去拿一张，记自己拿到自己写的贺年卡的人数为X，则随机变量X的方差DX为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：X可取值为0,1,2,4.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝.
EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
答案：C
2．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )
A．Dξ1＞Dξ2
B．Dξ1＝Dξ2
C．Dξ1＜Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
解析：由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的平均数相同，记为，则Dξ1＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]，Dξ2＝.
所以Dξ1－Dξ2＝[(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋…＋(x5－x1)2]＞0，即Dξ1＞Dξ2，故选A.
答案：A
3．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________，方差为________．
解析：记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，得η＝4ξ，
依题意知，ξ～B(25,0.8)．
所以Eξ＝25×0.8＝20，
Dξ＝25×0.8×0.2＝4.
所以Eη＝E(4ξ)＝4Eξ＝4×20＝80，
Dη＝D(4ξ)＝42Dξ＝16×4＝64.
答案：80 64
4．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为________．
解析：DX＝100p(1－p)＝100()2≤100·()2＝25，
故方差最大值为25，当且仅当p＝1－p，即p＝时，等号成立．
答案： 25
5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又知EX＝，DX＝，求X的分布列．
解析：依题意X只能取两个值x1，x2，于是有
EX＝x1＋x2＝，
DX＝(x1－)2×＋(x2－)2×＝，
所以
解得或，由于x1＜x2，所以，
所以X的分布列为：
X
1
2
P
6.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解析：(1)由题意可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6，
DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D(Y1)＋D(Y2)
＝()2DY1＋()2DY2
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
∴当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．
课件31张PPT。
