[A组 基础巩固]
1．下列函数中哪个是正态分布密度函数( )
A．f(x)＝e，μ和σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
解析：仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致，且指数部分是一个负数．
选项A是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面．
选项B是正确的，它是正态分布密度函数N(0,1)．
选项C是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，不统一．
选项D是错误的，指数部分缺少一个负号．
所以，选择B.
答案：B
2．关于正态曲线性质有下列叙述：
(1)曲线关于直线x＝μ对称，这条曲线在x轴的上方；
(2)曲线关于直线x＝0对称，这条曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时，才在x轴的上方；
(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
(4)曲线在x＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；
(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．
上述说法正确的是( )
A．只有(1)(4)(5)(6) B．只有(2)(4)(5)
C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)
解析：正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．
答案：A
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝( )
A.＋p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：由P(ξ>1)＝p，知P(－1<ξ<1)＝1－2p，
∴P(－1<ξ<0)＝－p.
答案：D
4．设随机变量X服从正态分布，且相应的分布密度函数为f(x)＝e－，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
解析：由f(x)＝e－，
得μ＝2，σ＝.
故选C.
答案：C
5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D.
解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，)知＝，
∴DX＝σ2＝.
答案：C
6．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X<3)＝________.
解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴，
P(X<3)＝P(X>3)＝.
答案：
7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.
解析：由正态分布图像的对称性可得：
P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.
答案：0.36
8．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X落在(0,2)内的概率为
P(0＝0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
9．某批待出口的水果罐头，每罐净重X(g)服从正态分布N(184，2.52)，求：
(1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g的概率；
(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g小于等于189 g的概率．
解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5.
(1)∵P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，
又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683，
∴P(X＞186.5)＝[1－P(181.5≤X≤186.5)]
＝(1－0.683)＝0.158 5.
(2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.
10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．
解析：由于随机变量X～N(4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N(4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事件，所以据此可认为该批零件是不合格的．
[B组 能力提升]
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
答案：C
2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．
解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.
答案：2
3．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．
解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ答案：0.135 5
4．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4)内的概率．
解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，
由＝，解得σ＝4，
所以该函数的解析式为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.
5．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？
解析：①当选择X～N(8,32)的方案时，则有
μ＝8，σ＝3.
∴P(8－3∴P(X>5)＝＋P(5即选择X～N(8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5.
②当选择X～N(7,12)的方案时，
则有μ′＝7，σ′＝1.
∴P(7－2×1∴P(X>5)＝＋P(5即选择X～N(7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977.
综上可得选择X～N(7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大．
故他应该选择X～N(7,12)的方案．
课件23张PPT。
