章末检测(二) 概 率
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人射击的命中率为p(0＜p＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )
A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…
解析：射击次数至少1次，由于命中率p＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标．
答案：B
2．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
解析：由分布列的性质＋＋＝1，解得a＝3，
则P(X＝2)＝＝.
答案：D
3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A，则P(A)＝，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X～B(4，)，故可得P(X＝2)＝C·()2·()2＝.
答案：B
4．已知X～B(n，p)，EX＝2，DX＝1.6，则n，p的值分别为( )
A．100,0.8 B．20,0.4
C．10,0.2 D．10,0.8
解析：由题意可得解得p＝0.2，n＝10.
答案：C
5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为的是( )
A．都不是一等品
B．恰有1件一等品
C．至少有1件一等品
D．至多有1件一等品
解析：P(都不是一等品)＝＝，P(恰有1件一等品)＝＝，P(至少有1件一等品)＝＝，
P(至多有1件一等品)＝＝.
答案：D
6．随机变量X的分布密度函数f(x)＝e (x∈R)，X在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P1和P2，则P1和P2的大小关系是( )
A．P1>P2 B．P1
C．P1＝P2 D．不能确定
解析：由f(x)＝e可知随机变量X～N(0,1)，由于f(x)的图像关于直线x＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P1＝P2.
答案：C
7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )
A．P1＋P2
B．P1·P2
C．1－P1·P2
D．1－(1－P1)·(1－P2)
解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P1)·(1－P2)．
答案：D
8．设ξ为离散型随机变量，则E(Eξ－ξ)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：∵Eξ是常数，∴E(Eξ－ξ)＝Eξ－Eξ＝0.
答案：A
9．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
a
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望EY的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：EY＝2EX＋1，由已知得a＝，
∴EX＝－＋＝－，
∴EY＝.
答案：B
10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A. B.
C. D.
解析：该生三项均合格的概率为××＝.
答案：B
11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )
A．(90,100] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
解析：∵X～N(110,52)，
∴μ＝110，σ＝5，
＝0.95≈P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)
＝P(100＜X≤120)．
答案：C
12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
所以所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．设随机变量X～B(4，)，则P(X≥3)＝________.
解析：P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝C()3×＋C()4
＝＋＝＝.
答案：
14．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
ξ
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员投中3分的概率是________．
解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以投中3分的概率是.
答案：
15．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：
合格品
次品
合计
甲机床加工的零件数
35
5
40
乙机床加工的零件数
50
10
60
合计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．
解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B.
则P(B|A)＝＝＝0.875.
答案：0.875
16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝________.
解析：由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，
∴p＝.
随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90间的学生占多少？
解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
分析成绩在60～80之间的学生的占比为：
P(70－10＜X≤70＋10)＝0.683，
所以成绩不及格的学生的占比为：
(1－0.683)＝0.158 5，
即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：
[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－P(70－10＜x≤70＋10)]＝(0.954－0.683)＝0.135 5，
即成绩在80～90之间的学生占13.55%.
18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得P(A1)＝CP(X＝2)·P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列，期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．
解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×
＝1.5，
Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11，E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1，及Eξ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.
20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B＝{孙家得到3张草花}．
(1)计算P(B|A)；
(2)计算P(A∩B)．
解析：(1)四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．
问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率 .于是P(B|A)＝≈0.278.
(2)在52张牌中任选13张牌有C种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C，A中的元素数为CC739，利用条件概率公式得到
P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×0.278≈0.012.
21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
解析：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
所以X的分布列为
X
2
3
P
故X的数学期望为EX＝2×＋3×＝.
22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学通过测验的概率均为，求：
(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．
解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A，则事件为“选出的3位同学中没有男同学”，
而P()＝＝，
所以P(A)＝1－＝.
即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为.
(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A，“女同学甲通过测验”为事件B，“男同学乙通过测验”为事件C，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A∩B∩C，由条件知A、B、C三个事件为相互独立事件，所以P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)．
而P(A)＝＝，
P(B)＝，P(C)＝，
所以P(A∩B∩C)＝××＝.
即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为.
课件10张PPT。