[A组 基础巩固]
1．下列变量：
①某机场候机室中一天的旅客数量为X；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；
③某水电站观察到一天中长江的水位为X；
④某立交桥一天内经过的车辆数为X.
其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X B．②中的X
C．③中的X D．④中的X
解析：①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故它不是离散型随机变量．
答案：C
2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X，那么“X≤－5”表示的随机事件的结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚6点，第二枚1点
D．第一枚1点，第二枚6点
解析：抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－5的只有一种情况，故第一枚为1点，第二枚为6点．
答案：D
3．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )
A.
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
B.
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
C.
X
1
2
3
P
－
D.
X
1
2
3
P
lg 2
lg 2
lg
解析：四个选项均符合“二维表”结构，但C选项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)>0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，故C选项不是分布列．
答案：C
4．已知离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
…
n
P
…
则k的值为( )
A. B．1
C．2 D．3
解析：由随机变量分布列的性质得n·＝1，即k＝1.
答案：B
5．给出下列A，B，C，D四个表，其中为随机变量X的分布列的是( )
A.
X
0
1
P
0.6
0.3
B.
X
0
1
2
P
0.902 5
0.095
0.002 5
C.
X
0
1
2
…
n
P
…
D.
X
0
1
2
…
n
P
×
×()2
…
×()n
解析：根据离散型随机变量的分布列的特征求解．对于表A，由于0.6＋0.3＝0.9<1；对于表C，有＋＋＋…＋＝1－<1；对于表D，＋×＋×()2＋…＋×()n＝·[1＋＋()2＋…＋()n]＝1－()n＋1<1.故表A，C，D均不能成为随机变量X的分布列．对于表B，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B可以成为随机变量X的分布列．
答案：B
6．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有________个．
解析：2支竹签上的数字是1～10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2～10，相应X可取得3～11，同理一个为2，另一个可取3～10，相应X可取得5～12，以此类推，可看到X可取得3～19之间的所有整数，共17个．
答案：17
7．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝则X的分布列为________．
解析：P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
故X的分布列如下表：
X
0
1
P
答案：
X
0
1
P
8.随机变量X的分布列如下，则X为奇数的概率为________.
X
0
1
2
3
4
5
P
解析：P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)
＝＋＋＝.
答案：
9．连续投掷一枚均匀的硬币两次，用X表示两次投掷中正面朝上的次数，则X是一个随机变量．分别说明下列集合所代表的事件：
(1){X＝0}； (2){X＝1}；
(3){X≤1}; (4){X＞0}．
解析：(1){X＝0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即两次都掷得反面朝上．所以{X＝0}＝{两次都是反面朝上}．
(2){X＝1}＝{第一次正面朝上，第二次反面朝上}∪{第一次反面朝上，第二次正面朝上}＝{恰有一次正面朝上}．
(3){X≤1}表示使得随机变量X对应的数值不超过1的那些结果组成的事件，即{至多一次正面朝上}，也可以表示为：{X≤1}＝{两次都是反面朝上}∪{第一次正面朝上，第二次反面朝上}∪{第一次反面朝上，第二次正面朝上}．
(4){X＞0}＝{第一次正面朝上，第二次反面朝上}∪{第一次反面朝上，第二次正面朝上}∪{两次都是正面朝上}＝{至少一次正面朝上}．
10．一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X>4的概率．
解析：(1)X的可能取值为3,4,5,6，从而有：
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝.
故X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)P(X>4)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＝.
[B组 能力提升]
1．设随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a
F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于( )
A. B.
C. D.
解析：解法一 ∵a＋＋＝1，∴a＝.
x∈[1,2)时，F(x)＝P(X≤1)＝＋＝.
解法二 x∈[1,2)时，F(x)＝P(X≤1)＝1－P(X＝2)
＝1－＝.
答案：D
2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n＝( )
A．3 B．4
C．10 D．不确定
解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，
∴X的每个值的概率均为.
由题意知P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，
∴n＝10.
答案：C
3．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
记“函数f(x)＝x2－13x＋1在区间[ξ，＋∞)上单调递增”为事件A，则事件A的概率是________．
解析：易知函数f(x)＝x2－13x＋1在区间[6.5，＋∞)上单调递增，所以ξ≥6.5，即所求事件A的概率是P(A)＝P(ξ≥6.5)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.88.
答案：0.88
4．已知某离散型随机变量ξ只能取x1、x2、x3三个值，且其概率依次成等差数列，即ξ的分布列为：
ξ
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
则P(ξ＝x3)的范围是__________．
解析：由离散型随机变量的分布列基本性质知
由①得a＝，代入②、③解得－＜d＜.
故0＜a＋d＜.所以0＜P(ξ＝x3)＜.
答案：
5．有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0,3张写有数字1,3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0,2张写有数字1,3张写有数字2.
(1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？
(2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布．
解析：(1)取出3张卡片都写有1的概率为＝.
(2)X所有可能取的值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＋＝，
P(X＝2)＝＋＋＝，
P(X＝3)＝＝.
P(X＝4)＝＝.
∴X的概率分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
6.某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ<2)．
解析：由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.
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