章末检测(三) 统计案例
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角和
D．人的年龄和身高
解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A、B、C三项都是函数关系，甚至可以写出它们的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D项不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．
答案：D
2．对两个变量进行独立性检验的主要作用是( )
A．判断模型的拟合效果
B．对两个变量进行相关分析
C．给出两个变量有关系的可靠程度
D．估计预报变量的平均值
解析：独立性检验的目的就是明确两个变量有关系的可靠程度．
答案：C
3．设有一个线性回归方程为y＝2－1.5x，则变量x每增加一个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
解析：y1－y2＝2－1.5(x＋1)－2＋1.5x＝－1.5.
答案：C
4．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数为( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
解析：当b＝0时，即＝0?iyi－n ＝0，
∴r＝＝0.
答案：C
5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200
C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200
解析：由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.
答案：A
6．利用独立性检验来考察两个变量A和B是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“A与B有关系”的可信程度．如果χ2>5.024，那么就有把握认为“A与B有关系”的百分比为( )
P(χ2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(χ2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.25% B．75%
C．2.5% D．97.5%
解析：由表可知χ2>5.024，所以有97.5%的把握认为“A与B有关系”．
答案：D
7．两个变量A，B的2×2列联表如下所示：
B
A
B1
B2
A1
39
157
A2
29
167
计算χ2的值约为( )
A．1.78 B．2.79
C．3.04 D．5.36
解析：χ2＝
≈1.78.
答案：A
8．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则两变量的线性回归方程为( )
A．y＝0.56x＋997.4 B．y＝0.63x－231.2
C．y＝50.2x＋501.4 D．y＝60.4x＋400.7
解析：利用公式b＝≈0.56，
a＝－b≈997.4，
∴线性回归方程为y＝0.56x＋997.4.
答案：A
9．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
解析：对于A：y＝2x－2为直线，不符合要求；
对于B：y＝x单调递减，不符合要求；
对于C：增长缓慢，也不符合要求；
将表中数据代入D中，基本符合要求．
答案：D
10．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8，3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1
解析：由线性相关系数公式知
r＝ .
∵＝＝11.72，＝＝3，
Xi＝Ui(i＝1,2，…，5)，Yi＝V6－i(i＝1,2，…，5)，
∴
＝ .
令(Xi－)(Yi－)＝A，则
A＝(10－)(1－)＋(11.3－)(2－)＋(11.8－)(3－)＋(12.5－)(4－)＋(13－)(5－)，
令(Ui－)(Vi－)＝B，则
B＝(10－)(5－)＋(11.3－)(4－)＋(11.8－)(3－)＋(12.5－)(2－)＋(13－)(1－)，
∴A＞0，B＜0，∴r1＞0，r2＜0.
答案：C
11．对变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的回归直线y＝bx＋a必过样本中心(，)
B．样本相关系数绝对值越接近于1，两变量线性相关性越强
C．样本相关系数越接近于0，两变量线性相关性越强
D．若变量y与x之间的相关系数为r＝－0.936 2，则变量y与x之间具有线性相关关系
解析：回归方程必过样本中心(，)，A正确；由回归分析知识知B正确，C错误；由|r|＝0.936 2，说明y和x之间具有很强的线性相关关系，D正确．故选C.
答案：C
12．对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，其2×2列联表中，已知a＝10，b＝21，c＋d＝35，若Ⅰ和Ⅱ有关系的可信度为90%，则c等于( )
A．3 B．4
C．5 D．7
解析：χ2＝
＝，
当c＝3时，χ2＝≈5.831>3.841，可信度为95%；
当c＝4时，χ2＝≈4.268>3.841，可信度为95%；
当c＝5时，χ2＝≈3.024>2.706，可信度为90%；
当c＝7时，χ2＝≈1.292<2.706，可信度小于90%.故选C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．已知回归直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
解析：y＝0.50×25－0.81＝11.69.
答案：11.69
14．图书馆想知道每天使用图书馆的人数x(百人)与借出的书的本数y(百本)之间的关系，已知上个月图书馆共开放25天，且得到下列数据：i＝200，i＝300，＝1 660，iyi＝2 436，若y与x线性相关，则y对x的线性回归方程为________________．
解析：＝＝8，＝＝12，所以 ＝96.
所以b＝＝＝＝0.6.
所以a＝－b＝12－0.6×8＝7.2.
所以y＝7.2＋0.6x.
答案：y＝7.2＋0.6x
15．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：
吃零食
不吃零食
总计
男学生
24
31
55
女学生
8
26
34
总计
32
57
89
根据上述数据分析，我们得出的χ2＝________.
解析：独立性检验χ2＝≈3.689.
答案：3.689
16．有两个变量x和y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本列联表如下：
y1
y2
总计
x1
132
18
150
x2
114
36
150
总计
246
54
300
则变量x和y有关系的可信度为________．
解析：由公式得χ2＝≈7.317，因为7.317>6.635，所以有99%的把握认为变量x与y有关系．
答案：99%
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示：
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
国民生产
总值(亿元)
396.26
442.04
517.77
625.10
700.83
792.54
858.47
社会商品零
售总额(亿元)
205.82
227.95
268.66
337.52
366.00
375.11
413.18
已知国民生产总值与社会商品零售总额之间存在线性关系，请建立线性回归方程．
解析：设国民生产总值为x，社会商品零售总额为y，线性回归方程为y＝bx＋a.
计算得＝619.001，＝313.463.
则根据公式可得
b＝＝0.446，
a＝－b＝37.389.
所以所求线性回归方程为y＝0.446x＋37.389.
18．(12分)打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：
患心脏病
未患心脏病
总计
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
总计
54
1 579
1 633
根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？
解析：由列联表中的数据，
得χ2＝≈68.033＞10.828.
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系．
19．(12分)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”？
表3
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
总计
注射药物A
a＝
b＝
注射药物B
c＝
d＝
总计
n＝
解析：列出2×2列联表
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
总计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
总计
105
95
n＝200
χ2＝≈24.56，由于χ2>6.635，所以有99 %的把握认为两者有关系，或者说在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
20．(12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下表：
产量x(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本
y(元/件)
73
72
71
73
69
68
(1)试确定回归直线及相关系数r；
(2)指出产量每增加1千件时，单位成本下降多少；
(3)产量为6千件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少？
解析：(1)i＝21，i＝426，＝79，＝30 268，
iyi＝1 481，＝3.5，＝71，
b＝＝＝
≈－1.818，
a＝－b＝71＋1.818×3.5＝77.363，
∴回归方程为y＝77.363－1.818x.
r＝
＝
＝＝－≈－0.91.
(2)产量每增加1千件时单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6千件时，y＝66.455元；
当y＝70元时，x≈4.05千件．
21．(12分)甲乙两个班级进行数学考试，按照“大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀”统计成绩后，得到如下的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
(其中χ2＝，n＝a＋b＋c＋d)
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.05
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解析：(1)由题意可知，优秀的总人数为105×＝30，
所以可得列联表为：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
总计
30
75
105
(2)根据列联表中的数据，得到
χ2＝≈6.109>3.841.
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
22．(14分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表所示：
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
试建立体重y与身高x之间的回归方程．
解：根据已知表中的数据画出散点图，如图所示．
由图可看出，样本点分布在某条指数曲线y＝c1ec2x的周围，于是可令z＝ln y，那么有
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出上表中数据的散点图，如图所示：
由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为z＝0.693＋0.020x，
即y与x之间的回归方程为y＝e0.693＋0.020x.
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