章末检测(一)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列语句:
①三角函数难道不是函数吗?
②和为有理数的两个数均为有理数.
③一条直线与一个平面不是平行就是相交.
④作△A′B′C′≌△ABC.
⑤这是一棵大树.
⑥求证是无理数.
⑦二次函数的图像太美啦!
⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素.
其中命题的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.7
解析:命题是指可以判断真假的陈述句,所以②③⑧是命题;①是反问句,不是命题;④⑥是祈使句,不是命题;⑤“大树”没有界定标准,不能判断真假,不是命题;⑦是感叹句,不是命题.
答案:A
2.给出下列4个命题:
①设a,b为非零向量,如果a⊥b,则a·b=0;
②如果-2③如果b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根;
④内接于圆的四边形是等腰梯形.
下列说法中正确的是( )
A.①的逆命题是假命题 B.②的否命题是假命题
C.③的逆否命题是真命题 D.④的逆命题是假命题
解析:①的逆命题为:设a,b为非零向量,如果a·b=0,则a⊥b,是真命题;②的否命题的真假可通过判断它的逆否命题即原命题的逆命题的真假来获得,易知原命题的逆命题为真命题,故否命题为真命题;③的逆否命题的真假可通过判断原命题的真假来获得,由于Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥4,故原命题为真命题,所以③的逆否命题为真命题;④的逆命题为:等腰梯形内接于圆,真命题.
答案:C
3.下列命题中是全称命题且为真命题的是( )
A.对任意的x∈R,x2+3x-3≠0
B.存在两个相交的平面垂直于同一平面
C.对任意的整数x,其平方的个位数字不等于3
D.存在x∈Z,x≠5k(k∈Z)
解析:B,D为特称命题.A中,当x2+3x-3=0时,Δ=9+12>0,所以此方程有解,故A为假命题.
答案:C
4.有下列命题:①2004年10月1日是国庆节,又是中秋节;②9的倍数一定是3的倍数;③方程x2=1的解是x=±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
解析:①中有“且”,②中没有,③中有“或”.
答案:B
5.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( )
A.充分非必要条件 B.充分必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
解析:若一元二次方程x2+x+m=0有实数解,则Δ=1-4m≥0,因此m≤.故m<是方程x2+x+m=0有实数解的充分非必要条件.
答案:A
6.已知命题p:任意x∈R,x2-x+<0;命题q:存在x∈R,sin x+cos x=.则下列命题正确的是( )
A.p或q真 B.p且q真
C.綈q真 D.p真
解析:易知p假,q真,故p或q为真.
答案:A
7.下列命题中的假命题是( )
A.任意x∈R,2x-1>0
B.任意x∈N+,(x-1)2>0
C.存在x∈R,lg x<1
D.存在x∈R,tan x=2
解析:A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0,A正确;B项,∵x∈N+,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾,B错误;C项,当x=时,lg=-1<1,C正确;D项,由正切函数的图像和性质知D正确.故选B.
答案:B
8.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.存在x∈R,f(x)≤f(x0)
B.存在x∈R,f(x)≥f(x0)
C.对任意x∈R,f(x)≤f(x0)
D.对任意x∈R,f(x)≥f(x0)
解析:由题知:x0=-为函数f(x)图像的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此对任意x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,故选C.
答案:C
9.已知数列{an},那么“对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“{an}为等差数列”的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:原命题:“若对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为等差数列”为真命题.其逆命题:“若{an}为等差数列,则对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”.此命题为假,所以“对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“{an}为等差数列”的充分而不必要条件.
答案:B
10.已知p:≤1,q:(x-a)[x-(a+1)]≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪
解析:由≤1,得≤x≤1.由(x-a)[x-(a+1)]≤0,得a≤x≤a+1.又q是p的必要不充分条件,1-≠a+1-a,所以a≤且a+1≥1,所以0≤a≤.
答案:A
第Ⅱ卷(非选择题,共60分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
11.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题序号都填上)
解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面,显然不正确.
②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点,为真命题.
答案:②
12.已知p:3×3=6,q:3+3=6,判断下列复合命题的真假:
p或q________,p且q________,綈p________.
解析:因为p假,q真,所以“p或q”真,“p且q”假,“綈p”真.
答案:真 假 真
13.命题:“存在x∈R,x2+1<0”的否定是________________.
解析:特称命题的否定是全称命题.
答案:对任意x∈R,x2+1≥0
14.已知命题p:关于x的方程x2+2x+a=0有实数根,命题q:函数f(x)=(a2-a)x在R上是增函数.若p且q为真命题,求实数a的取值范围是__________.
解析:当p是真命题时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.
当q是真命题时,a2-a>0,解得a<0或a>1.
由题意,得p,q都是真命题,所以,解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
三、解答题(本大题共4小题,共44分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题.
(1)实数的平方是非负数;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.
解析:(1)原命题:若一个数是实数,则这个数的平方是非负数.
逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.
否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.
逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.
(2)原命题:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心,且平分弦所对的弧.
逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧.
逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.
16.(10分)写出下列各命题的否定形式及否命题.
(1)面积相等的三角形是全等三角形;
(2)若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零;
(3)若xy=0,则x=0或y=0.
解析:(1)否定形式:存在面积相等的三角形不是全等三角形.
否命题:存在面积不相等的三角形不是全等三角形.
(2)否定形式:若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.
否命题:若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.
(3)否定形式:若xy=0,则x≠0且y≠0.
否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0.
17.(12分)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件?
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件?
解析:(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要{x|x<-}?{x|x<-1或x>3},则只要-≤-1,即m≥2.故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-}?{x|x<-1或x>3},这是不可能的,故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
18.(12分)已知命题p:存在x0∈[0,2],log2(x0+2)<2m;命题q:关于x的方程3x2-2x+m2=0有两个不相等的实数根.
(1)若(非p)且q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
解析:(1)令f(x)=log2(x+2),则f(x)在[0,2]上是增函数,
所以当x∈[0,2]时,f(x)的最小值为f(0)=1,
所以若p为真,则2m>1,解得m>.
由关于x的方程3x2-2x+m2=0有两个不相等的实数根,
得Δ=4-12m2>0,解得-若(綈p)且q为真命题,则,所以-即实数m的取值范围为.
(2)若p或q为真命题,p且q为假命题,则p,q一真一假,
若p真q假,则,解得m≥;
若p假q真,则,解得-综上所述,实数m的取值范围为∪.
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