[A组 基础巩固]
1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p的值分别为( )
A．9,2 B．1,18
C．9,2或1,18 D．9,18或1,2
解析：因为点M到对称轴的距离为6，所以不妨设M(x0,6)．
因为点M到准线的距离为10，所以，解得或，故选C.
答案：C
2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
答案：C
3．过点M(2,4)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：点M(2,4)是抛物线上的点，所以直线l有两条，一条是切线，另一条是平行于抛物线的对称轴的直线．
答案：B
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：C
5．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为( )
A．－1＋ B.－
C．1＋ D.＋
解析：由题意得F的坐标为(0,1)．又M(1,0)，故线段MF的方程为x＋y＝1(0≤x≤1)．解得交点A的坐标为(2－2，3－2)．∴S＝×1×(3－2)＝－.
答案：B
6．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.
∴|y|＝＝＝|a|.由于通径长为6，即2|a|＝6，
∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，
得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.
由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
答案：2
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
解析：如图，由AB的斜率为，知∠BMx＝60°，
又＝，∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
∴|BP|＝|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.
答案：2
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ>1)，求λ的值．
解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝λ?(－x1，－y1)＝λ(x2－，y2)，
故－y1＝λy2?λ＝－，联立直线与抛物线方程，
消元得：y2－py－p2＝0，∴y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，
因此＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－，
∴λ＝4(λ>1)．
10．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若△OAB的面积为，求k的值；
(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点．
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|＝·，由点到直线的距离公式得d＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝ ＝，
解得k＝±.
(2)证明：由(1)可得kOA＝，kOB＝，kOA·kOB＝.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，
∴kOA·kOB＝，又，得ky2＋y－k＝0，
∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，
∴OA⊥OB，∴以弦AB为直径的圆必过原点．
[B组 能力提升]
1．如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N，若|AM|＝2|BN|，则实数k的值是( )
A. B.
C. D．2
解析：设B(x1，y1)，则由|AM|＝2|BN|，得A(2x1＋1,2y1)．
由，解得或(不合题意，舍去)，所以B.又直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，所以k＝＝.故选C.
答案：C
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
3．平面上一机器人在进行中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析：由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，
x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.
设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．
代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，
∴k2>1.∴k>1或k<－1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，焦点为F，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，若△ABC的面积为，则抛物线的方程为__________．
解析：如图所示，由题意可得＝cos 30°，|DF|＝p，∴|BF|＝，∴|AF|＝，由抛物线的定义，知点A到准线的距离也为.∵△ABC的面积为，∴××＝，
∴p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
5．已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当|PA|最小时P点的坐标．
解析：设P(x，y)，则|PA|＝
＝＝.
∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：
(1)当a－2≤0即a≤2时，则x＝0，|PA|取得最小值为|a|，此时P(0,0)．
(2)当a－2>0即a>2时，则x＝a－2，|PA|取得最小值为2，此时P(a－2，±2)．综上所述，|PA|最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a>2时，P(a－2，±2)．
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解析：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
由，得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.因为－1?[－，＋∞)，故舍去，所以t＝1.
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
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