[A组 基础巩固]
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1答案：D
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：A
3．已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
解析：－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支．
答案：D
4．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)>0，
∴(k＋1)(k－1)<0，∴－1答案：A
5．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
解析：双曲线的标准方程为－＝1，∴焦点在x轴上，且c2＝1＋＝.∵c>0，∴c＝，∴右焦点的坐标为.
答案：C
6．已知双曲线－＝1，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线右支上．若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是__________．
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，在△ F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝2，∴r1r2＝36，∴S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝×36×＝9.
答案：9
7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
答案：16
8．若双曲线kx2－2ky2＝1的一个焦点是(－4,0)，则k＝________.
解析：据已知得k>0，于是＋＝16.解得k＝.
答案：
9．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？
解析：(1)当α＝0°时，方程化为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程化为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆；
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝；
③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程化为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程化为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程化为x2＝－1，它不表示任何曲线．
10．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；
(2)与双曲线－＝1有相同焦点，且过点(3，2)．
解析：(1)由已知，得c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点为(0,6)．
由双曲线的定义，得2a＝|－|＝8，
∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)解法一 由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则，解得，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)，则－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[B组 能力提升]
1．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义得|m－n|＝2，①
在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝8，②
联立①，②解得mn＝4，
即|PF1|·|PF2|＝4，故选B.
答案：B
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系是( )
A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|＝b－a
C．|MO|－|MT|解析：不妨设点P在第一象限，设F1是双曲线的右焦点，连接PF1，∵M，O分别为FP，FF1的中点，
∴|MO|＝|PF1|，由双曲线的定义得|PF|－|PF1|＝2a，|FT|＝＝b，
∴|MO|－|MT|＝|PF1|－|MF|＋|FT|
＝(|PF1|－|PF|)＋|FT|＝b－a.
答案：B
3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
4．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．给出下面四个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)．
其中真命题的序号是__________．
解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|.又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，
故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设点M的坐标为(x,0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④是真命题．
答案：①④
5．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
解析：解法一 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，又椭圆的两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝
| － |＝4，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
6．如图△ABC中，BC＝2，·＝4，·＝2，双曲线D以B、C为焦点且过A点．
(1)建立适当的坐标系，求双曲线D的方程；
(2)设过点E(1,0)的直线l分别与双曲线D的左、右支交于F，G两点，直线l的斜率为k，求k的取值范围．
解析：(1)以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系．
则B(－，0)，C(，0)，设A(x0，y0)，故＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
＝(－2，0)．由，
得，∴.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，又c＝，
∴，∴.
∴双曲线D的方程为－y2＝1.
(2)当l⊥x轴时，l与双曲线无交点．当l不垂直于x轴时，可设l的方程：y＝k(x－1)，由，消去y得
(1－2k2)x2＋4k2x－(2k2＋2)＝0.
∵直线l与双曲线左、右支分别交于F(x1，y1)，G(x2，y2)，
则，∴－课件34张PPT。双曲线 焦点 焦距
