[A组 基础巩固]
1．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于( )
A．2 B.
C. D．1
解析：∵c2＝a2＋3，
∴＝＝4，得a＝1.
答案：D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．
由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知解得故所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案：D
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为( )
A.－1 B.＋1
C. D.
解析：由题设知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°.不妨设P(c，d)(d>0)，则|PF2|＝d，|PF1|＝2d，|F1F2|＝d.从而2a＝|PF1|－|PF2|＝2d－d＝d,2c＝|F1F2|＝d，故e＝＝＝.
答案：D
4．若双曲线经过点(6，)，且渐近线方程是y＝±x，则这条双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D.－＝1
解析：设双曲线的方程为y2－＝λ(λ≠0)，将(6，)代入该方程可得λ的值．
答案：C
5．已知双曲线－y2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e＝________.
解析：因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝5.即a＝2，c＝.
e＝.将－y2＝1中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程．
答案：y＝±x
6．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△ AOB的面积为__________．
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则AB的中点坐标为，
∴2－2＝2，即x1x2＝2，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.
答案：2
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝ x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝ ，∴b＝ a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，
∴16＝a2＋(a)2，∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
8．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1的公共焦点，且离心率e＝.
解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2，即a2＝b2. ①
又双曲线过点P(3，－)，则－＝1， ②
由①②，得a2＝b2＝4，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理a2＝b2， ③
－＝1， ④
由③④，得a2＝b2＝－4(舍去)．
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝4，e＝＝，
∴a＝3，b2＝c2－a2＝7，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积．
解析：双曲线－＝1的右顶点为A(3,0)，右焦点F(5,0)，一条渐近线为y＝－x，
则BF所在直线为y＝－(x－5)，
由，得B(，)，
∴S△AFB＝·|AF|·|yB|＝.
[B组 能力提升]
1．已知双曲线C：－＝1的两条渐近线分别是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是3，则点M到渐近线l2的距离是( )
A. B．1
C. D．3
解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程为2x±3y＝0，设M(x1，y1)为双曲线C上一点，则－＝1，即4x－9y＝36，点M到两条渐近线的距离之积为·＝＝为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是3时，点M到渐近线l2的距离是÷3＝，选A.
答案：A
2．已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是( )
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2
C．e2e1＝2 D.>2
解析：设三角形的边长为2.由题意，可求得椭圆的离心率e1＝，双曲线的离心率e2＝，所以e1＋e2＝2，e1e2＝2，e2－e1＝2，＝2＋>2.故选A.
答案：A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
解析：根据两条直线垂直的条件，求出a，b之间的关系，进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.
∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
答案：±1
4．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
解析：先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c的最大值．
所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.
答案：
5．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；
(3)求△F1MF2的面积．
解析：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：易知F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴kMF1＝，kMF2＝.
∴kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.
故kMF1·kMF2＝－1.
即MF1⊥MF2.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
F1F2上的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
6．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D，其中A，C在x轴的同一侧．
(1)求椭圆和双曲线的标准方程．
(2)是否存在题设中的点P，使得||＋||＝·？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
由题意，知椭圆的离心率为＝，得a＝c.
∵2a＋2c＝4(＋1)，∴a＝2，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1，
∴椭圆的焦点坐标为(±2,0)．
∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆＋＝1的焦点，
∴该双曲线的标准方程为－＝1.
(2)假设存在满足题意的点P.
设P(x0，y0)，则kPF1＝，kPF2＝，
∵点P在双曲线－＝1上，∴kPF1·kPF2＝1.
设PF1的方程为y＝k(x＋2)，则PF2的方程为y＝(x－2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴||＝·＝·＝，
同理||＝＝，
由题知||＋||＝||·||·cos∠F1PF2，
∴cos∠F1PF2＝＝×＝.
∵·＝||||cos∠F1PF2，
∴(－2－x0)(2－x0)＋(－y0)(－y0)＝··，
又x－y＝4，∴2(x－4)＝·
·＝··＝，
∴x＝8，y＝4，即存在点P(±2，±2)满足题意．
课件37张PPT。
