章末检测(二)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程对应的曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：由0<<1，可知此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，a2＝9，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝1，离心率e＝＝，不符合题意；对于选项D，a2＝9，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝8，离心率e＝＝，符合题意，选D.
答案：D
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由x2＋my2＝1，得x2＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
∴ ＝2×1，即＝4，∴m＝.
答案：A
3．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：由双曲线的标准方程知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4.故选D.
答案：D
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
∴3＋＝4，∴p＝2.故选C.
答案：C
5．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为( )
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由已知可设椭圆方程为：＋＝1(a＞b＞0)，由c＝及e＝＝得a＝.又a2＝b2＋c2，得b2＝a2－c2＝3－2＝1.故椭圆方程为＋y2＝1.
答案：B
6．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，没有绝对值，只能代表双曲线的一支．
答案：D
7．已知点P为双曲线－＝1的右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋S△MF1F2，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：设△PF1F2的内切圆的半径为R，由S△PMF1＝S△PMF2＋S△MF1F2，得×|PF1|×R－×|PF2|×R＝××|F1F2|×R，即×2a×R＝××2c×R，∴＝4.
答案：C
8．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则2②若曲线C为双曲线，则t>4或t<2；
③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3以上命题正确的是( )
A．②③ B．①④
C．②④ D．①②④
解析：①若C为椭圆，则解得2②若C为双曲线，则(4－t)(t－2)<0，∴t>4或t<2.
③当t＝3时，方程为x2＋y2＝1表示圆．
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则解得3答案：C
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析：①当点P与短轴的端点重合时，△F1F2P是以F1F2为底边的等腰三角形，此时有2个满足条件的等腰△F1F2P.②当△F1F2P是以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例．∵|F1F2|＝|F1P|，∴点P在以F1为圆心，半径为2c的圆上，∴当以F1为圆心，2c为半径的圆与椭圆C有2个交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a－c<2c，解得a<3c，∴离心率e>，当e＝时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠；同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.综上，若共有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则离心率e的取值范围是∪，故选D.
答案：D
10．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝＝2.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．双曲线－＝1的渐近线方程是________．
解析：解法一 方程－＝1，即为－＝1，
∴a＝2，b＝2.∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
解法二 令－＝0，即＋＝0或－＝0，
即y＝－x或y＝x.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
12．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组，得交点为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos 30°＝，从而e＝.
答案：
14．过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A，过点P2(2，7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上，且|BM|∶|MA|＝1∶2，则动点M的轨迹方程为__________．
解析：如图所示，设过点P2的直线方程为y－7＝k(x－2)．当k≠0时，过点P1的直线方程为y－5＝－(x－1)，所以A(5k＋1,0)，B(0，－2k＋7)．设M(x，y)，则由|BM|∶|MA|＝1∶2，得，消去k，整理得12x＋15y－74＝0.当k＝0时，易得A(1,0)，B(0,7)，则M，也满足方程12x＋15y－74＝0.故点M的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.
答案：12x＋15y－74＝0
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知B、C是两个定点，|BC|＝10，且△ABC的周长等于24，求顶点A的轨迹方程．
解析：由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝24，|BC|＝10，得|AB|＋|AC|＝14，由定义可知，顶点A的轨迹是椭圆，且2c＝10,2a＝14，即c＝5，a＝7，所以b2＝a2－c2＝24.建立如图所示的平面直角坐标系，使x轴经过B、C两点，原点O为BC的中点，当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
16．(10分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
解析：设双曲线方程为－＝1.由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2.又y＝x为双曲线C的一条渐近线，∴＝，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－＝1.
17．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得a＝4，c＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．由已知得＝e2.
而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①
由点P在椭圆C上得y＝，
代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
18．(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q共线，求k.
解析：(1)由题意得，解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
|AB|＝＝
＝＝.
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.
直线PA的方程为y＝(x＋2)．
由，得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.
设C(xC，yC)．
所以xC＋x1＝＝.
所以xC＝－x1＝.
所以yC＝(xC＋2)＝.
设D(xD，yD)．同理得xD＝，yD＝.
记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，
则kCQ－kDQ＝－
＝4(y1－y2－x1＋x2)．
因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.
故y1－y2＝x1－x2.
所以直线l的斜率k＝＝1.
课件13张PPT。
