[A组 基础巩固]
1．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．4 D．1
解析：由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
答案：A
2．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
解析：顶点C到两个定点A，B的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．
答案：D
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：C
4．“5
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若方程＋＝1表示椭圆，则，
解得5答案：C
5．已知P是椭圆＋＝1上一点，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1交椭圆于另一点A，则△PAF2的周长为( )
A．10 B．16
C．20 D．40
解析：设△PAF2的周长为l，则l＝|PA|＋|PF2|＋|AF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝2×10＋2×10＝40.
答案：D
6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是________；若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________．
解析：方程变形为＋＝1，当焦点在y轴上时，有－a>a2，所以－1答案：(－1,0) (－∞，－1)
8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：由椭圆标准方程得a＝3，b＝，则c＝＝，|F1F2|＝2c＝2.由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且过点(1，2)和(2,0)，求椭圆的方程．
(2)焦点在x轴上，焦距是4，且经过点M(3，－2)．
解析：(1)由焦点在y轴上，故设椭圆方程为＋＝1.
∵点(1,2)和(2,0)在椭圆上，∴解得
故所求的椭圆方程为＋＝1.
(2)由焦点在x轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c＝2.因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知
2a＝＋＝12，所以a＝6.所以b2＝a2－c2＝36－4＝32.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解析：(1)由已知得c＝1，|F1F2|＝2，
所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|.
由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，所以|PF1|＝，
所以S△PF1F2＝|F1F2|·|PF1|·sin 120°＝×2××＝.
[B组 能力提升]
1．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0A. B．1
C. D.
解析：椭圆E：x2＋＝1(0答案：C
2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝.
答案：A
3．如图所示，F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．
解析：因为F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|·sin 60°＝c2＝，所以c2＝4.所以点P的坐标为(，c)，即(1，)，所以＋＝1，又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2.
答案：2
4．设P是椭圆 ＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.
解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.
答案：
5．在椭圆9x2＋25y2＝225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍．
解析：原方程可化为＋＝1.其中a＝5，b＝3，则c＝4.
∴F1(－4,0)，F2(4,0)．设P(x，y)是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，又|PF2|＝4|PF1|，解得|PF1|＝2，|PF2|＝8，
即解得
或故P点坐标为(－，)或(－，－)．
6．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且点P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解析：因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.所以kPA＝，kPB＝.所以kPA·kPB＝·＝.因为点P在椭圆＋＝1上，所以y2＝16×(1－)＝16×.把y2＝16×代入kPA·kPB＝，得kPA·kPB＝＝－.所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.
课件31张PPT。焦点 焦距 (±c,0) (0，±c) 