[A组 基础巩固]
1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：利用椭圆的标准方程及性质求解．
由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.
答案：B
2．已知k<0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的( )
A．顶点 B．焦点
C．离心率 D．长轴长
解析：c＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．
答案：B
3．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A.＋1 B.＋1
C. D.
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝4，焦距2c＝2.
∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝3，|PF2|＝1.
∵12＋(2)2＝32，
∴△PF1F2是直角三角形，且PF2⊥F1F2，
∴△PF1F2的面积为|PF2|×|F1F2|＝×1×2＝，故选D.
答案：D
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
答案：C
5．以F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.∴<，∴0答案：
7．焦点在x轴上，长、短轴之和为20，焦距为4，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＋b＝10，c＝2，又∵a2＝b2＋c2，∴a2＝(10－a)2＋c2＝100－20a＋a2＋20.即a＝6，∴b＝4.又∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点F(2,0)，点A(－2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是__________．
解析：记椭圆的左焦点为F1(－2,0)，则|AF1|＝1.
∵|PF1|≤|PA|＋|AF1|，∴2a＝|PF1|＋|PF|≤|PA|＋|AF1|＋|PF|＝1＋8＝9，即a≤.∵|PF1|≥|PA|－|AF1|，∴2a＝|PF1|＋|PF|≥|PA|－|AF1|＋|PF|＝8－1＝7，即a≥.∵c＝2，∴≤≤，即≤e≤，椭圆E的离心率的取值范围是.
答案：
9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
解析：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得：解得∴椭圆方程为＋y2＝1；
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得∴椭圆方程为＋＝1.综上所述，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点M，使·＝0，求椭圆的离心率的取值范围．
解析：设点M(x，y)，使·＝0，由于F1(－c,0)，
F2(c,0)，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，
∴(－c－x)(c－x)＋(－y)2＝0，∴x2＋y2＝c2.
又点M(x，y)在椭圆＋＝1上，∴由，
消去y，并整理得(a2－b2)x2＝a2(c2－b2)，
∴x2＝≥0，即c2－b2＝2c2－a2≥0，
∴≥，即e2≥，
∴e∈[，1)．
[B组 能力提升]
1．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得直线l：y＝(x＋1)．
联立，可得A(0，)，B(－，)，
又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＋＝.
答案：A
2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个交点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A. B.
C. D.
解析：由题意，知点B的横坐标是c，故B的坐标为，∵k∈，∴B.又A(－a,0)
∴直线AB的斜率k＝＝＝＝＝1－e.由答案：C
3．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
4．某卫星的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得该卫星的近地点A距地面r1千米，远地点B距地面r2千米，地球半径为R千米，则关于该运行轨道有以下三种说法：
①焦距长为r2－r1；②短轴长为；③离心率e＝.
以上说法正确的是________．
解析：设椭圆轨道的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a＋c＝r2＋R，a－c＝r1＋R.
∴a＝，c＝.
∴b＝＝.
∴e＝＝.
答案：①③
5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点M，且两个焦点的坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(1)求E的方程；
(2)设A，B，P为E上三个不同的点，O为坐标原点，且＝＋，求证：四边形OAPB的面积为定值．
解析：(1)由已知得2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝2，∴a＝.又c＝1，∴b＝1，
∴E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率不为0时，可设直线AB：x＝my＋t，
由，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，
设P(x，y)，由＝＋，得四边形OAPB为平行四边形，
y＝y1＋y2＝－，x＝x1＋x2＝my1＋t＋my2＋t＝m(y1＋y2)＋2t＝.
∵点P在椭圆E上，∴＋＝1，
即＝1，∴4t2＝m2＋2，
此时Δ＝4m2t2－4(m2＋2)(t2－2)＝8(m2＋2－t2)>0，
∴|AB|＝×＝× ＝，
又原点O到直线x＝my＋t的距离d＝，
∴四边形OAPB的面积S＝2S△OAB＝2×|AB|×d＝×＝＝.
当AB的斜率为0时，直线AB的方程为y＝，
此时四边形OAPB的面积S＝2×××＝，
∴四边形OAPB的面积为定值.
6．设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解析：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，
即a＝，故a2＝2b2.
所以椭圆E的离心率e＝＝＝.
(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|得kPN＝－1，即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
课件30张PPT。
