[A组 基础巩固]
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：抛物线的开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝8，得＝2，故焦点坐标为(－2,0)．
答案：B
2．抛物线x2＝4y上一点P的纵坐标为4，则点P到抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵x2＝4y，设P(xP,4)，
故|PF|＝4＋1＝5.
答案：D
3．抛物线y＝－4x2的焦点到准线的距离为( )
A．1 B.
C. D.
解析：将抛物线方程y＝－4x2化为标准方程，为x2＝－＝－2×y，则p＝，所以焦点到准线的距离为.
答案：B
4．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
解析：∵a2＝6，b2＝2，
∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.
椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.
答案：A
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：直线方程可化为a(x＋2)－x－y＋1＝0，由，得P(－2,3)，经检验知A正确．
答案：A
6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为________．
解析：∵y2＝4x，∴p＝2.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
8．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
答案：±4
9．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)准线方程为y＝；
(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；
(4)过点P(－2，－4)．
解析：(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，则p＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
(2)因为抛物线的准线在y轴正半轴上，且＝，则p＝，所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(3)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.
(4)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝－2p2y(p2＞0)．
分别将点P的坐标代入上述方程，解得p1＝4，p2＝.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝－8x和x2＝－y.
10．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，点A(，4)，求|PA|＋d的最小值．
解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)．又点A(，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d，所以d＝|PF|，则|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5.∴|PA|＋d的最小值是5.
[B组 能力提升]
1．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
答案：A
2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.
答案：C
3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．
解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
4．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝__________.
解析：过点A，B，P分别作抛物线的准线y＝－3的垂线，垂足分别为C，D，Q，根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8.
答案：8
5．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一条小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？
解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝.
∴x2＝－y.
当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面部分为 m，∴h＝|yA|＋＝2(m)．故水面上涨到距抛物线顶2 m时，小船开始不能通航．
6．已知点A(12,6)，点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.
(1)求点M的轨迹方程G；
(2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2，
故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2)如图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)，则P到x轴的距离即y值，
设P到准线y＝－1的距离为d，
则y＝d－1.
故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，
由抛物线定义知|PF|＝d.
于是|PA|＋d－1
＝|PA|＋|PF|－1.
由图可知，当A、P、F三点共线且P在AF之间时，
|PA|＋|PF|取得最小值13.此时直线AF的方程为y＝x＋1，
由，得P点坐标为(3，)或(－，)(舍去)．
∴在抛物线G上存在点P(3，)，使得所求距离之和最小．
课件34张PPT。抛物线 焦点准线
