[A组 基础巩固]
1．若f(x)＝，则f′(－1)等于( )
A．0 B．－
C．3 D.
解析：∵f(x)＝＝，∴f′(x)＝，∴f′(－1)＝.故选D.
答案：D
2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
解析：∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，
∴f′(0)＝1.
即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
答案：A
3．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝3 ，则y′＝ 3 ；③若f(x)＝sin α，则f′(x)＝cos α；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于②y＝3 ，y′＝，故②错；对于③，f(x)＝sin α，为常数函数，∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．
答案：B
4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
答案：A
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标所围成三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
解析：切线方程为y－e2＝e2(x－2)．x＝0时，y＝－e2；y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成的三角形的面积为
×|－e2|×1＝.故选D.
答案：D
6．若f(x)＝sin x，则f′(2π)＝________.
解析：∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x，
∴f′(2π)＝cos 2π＝1.
答案：1
7．已知f(x)＝x2，g(x)＝x，且满足f′(x)＋g′(x)＝3，则x的值为__________．
解析：因为f′(x)＝2x，g′(x)＝1，所以2x＋1＝3，解得x＝1.
答案：1
8．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
解析：f′(x)＝(ln x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln 2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
9．一运动物体的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝t2，求s′(2)，并说明它的意义．
解析：∵s(t)＝t2，∴s′(t)＝(t2)′＝2t.
∴s′(2)＝2×2＝4.
s′(2)＝4说明此运动物体在2 s时刻的瞬时速度为4 m/s.
10．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
解析：∵y＝，∴y′＝－，
∴过点(a，)的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－ (x－a)．
令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a.
∴该切线与两坐标轴围成三角形的面积
S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.
[B组 能力提升]
1．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B.
C. D．2
解析：如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值．易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1.故此时点P的坐标为(1,0)，所以|PQ|min＝＝.
答案：C
2．已知0解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，因为0答案：f′(x)3．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为__________．
解析：y′＝＝·log2e，所以切线的斜率k＝y′＝log2e，切线方程为y＝(x－1)log2e，令x＝0，得y＝－log2e，令y＝0，得x＝1，因此所求三角形的面积S＝×1×log2e＝log2e.
答案：log2e
4．求过曲线y＝cos x上点P(，)，且与过这点的切线垂直的直线方程．
解析：∵y＝f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，
∴f′()＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线斜率为 .
∴所求直线方程为y－＝(x－)，
即2x－y－＋＝0.
5．讨论关于x的方程ln x＝kx解的个数．
解析：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．
设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0.
∵(ln x)′＝，∴k＝，∴kx0＝1＝ln x0，
∴x0＝e，k＝.
结合图像，知当k≤0或k＝时，方程ln x＝kx有一个解；
当0当k>时，方程ln x＝kx无解．
课件20张PPT。0 cos x
