[A组 基础巩固]
1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，
即f′(x)＝＞0，∴x2－x－2＞0，
解得x＜－1或x＞2.
又∵x＞0，∴x＞2.
答案：C
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析：因为f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋1，
所以f′(x0)＝ln x0＋1＝2，
所以ln x0＝1，即x0＝e.
答案：B
3．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图像是( )
解析：∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，
∴f′(x)＝x－sin x，易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图像关于原点对称，故排除B，D.由f′＝－<0，排除C，故选A.
答案：A
4．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.
答案：B
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于( )
A. B．e
C．－ D．－e
解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，
则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－.
答案：C
6．设f(x)＝－，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝(－)′＝－＋，
∴f′(1)＝－1＋＝－.
答案：－
7．曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝－3x2＋6x，∴f′(1)＝3.
∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案：y＝3x－1
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：先求出y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程，然后利用根的判别式或导数法求a的值．
解法一 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
解法二 同解法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
答案：8
9．设函数f(x)＝ax3＋3x，其图像在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
解析：f′(x)＝3ax2＋3，由题设，得f′(1)＝－6，∴3a＋3＝－6，即a＝－3，∴f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6，∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×6＝3.
10．点P是曲线f′(x)＝x2－ln x上任一点，求P到直线y＝x－2的距离的最小值．
解析：曲线上与直线y＝x－2距离最小的点，必定是平行于该直线的切线的切点．设曲线上一点的横坐标是x0(x0>0)，则经过该点的切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－，
又x0>0，∴x0＝1，此时y0＝1.
∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝.
[B组 能力提升]
1．已知f(x)＝x3＋2xf′(3)＋ln x，则f′(3)＝( )
A. B．－
C．9 D．－9
解析：因为f′(x)＝x2＋2f′(3)＋，所以f′(3)＝32＋2f′(3)＋＝＋2f′(3)，解得f′(3)＝－，故选B.
答案：B
2．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
解析：由已知f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)．
又θ∈[0，]，∴≤θ＋≤，
∴≤sin(θ＋)≤1，
∴≤f′(1)≤2.
答案：D
3．已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋8，则过点(0,0)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为__________．
解析：∵点(0,0)不在函数y＝f(x)的图像上，∴点(0,0)不是切点．设切点为P(x0，－x＋6x－9x0＋8)，由f(x)＝－x3＋6x2－9x＋8，可得f′(x)＝－3x2＋12x－9，则f′(x0)＝－3x＋12x0－9，
∴－3x＋12x0－9＝，解得x0＝－1或x0＝2，故切线有2条．
答案：2
4．若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．
解析：过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－ln x相切．设P(x0，x－ln x0)，则直线l的斜率k＝
f′(x0)＝2x0－，
∴2x0－＝1，
∴x0＝1或x0＝－(舍去)．
∴点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
5．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值是－12，求a，b，c的值．
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，
∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12且a>0，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为.
∴f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2.
综上可知，a＝2，b＝－12，c＝0.
6．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值；
(2)若存在曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝1＋，g′(x)＝－，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3.
(2)由题意，得1＋＝－(x>0)，
则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立，
故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
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