章末检测(三)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
解析：将每个函数的平均变化率求出，再进行比较大小．
y＝x的平均变化率为＝＝1；
y＝x2的平均变化率为＝2x＋Δx＝2＋0.3＝2.3；
y＝x3的平均变化率为＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2＝3＋3×0.3＋0.32＝3.99；
y＝的平均变化率为＝＝＝－.
∴y＝x3的平均变化率最大．
答案：B
2．下列结论：①若f(x)＝，则f′(2)＝－；②若f(x)＝cos x，则f′()＝－1；③若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：正确的是②③，共有2个，故选C.
答案：C
3．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则li ＝( )
A．－2f′(2) B．2f′(2)
C．－f′(2) D.f′(2)
解析：因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)．
答案：C
4.已知函数f(x)的图像如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．0
B．0C．0D．0解析：从图像上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0答案：B
5．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加( )
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
解析：Δs＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2.
答案：B
6．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：因为y′＝3x2－6x，所以曲线过点(1，－1)的切线的斜率为－3，所以所求切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.
答案：B
7．函数y＝x(x2＋1)的导数为( )
A．x2＋1 B．3x2
C．3x2＋1 D．3x2＋x
解析：∵y＝x3＋x，
∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
答案：C
8．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( )
A．1条 B．2条
C．多于2条 D．不确定
解析：f′(x)＝3x2，令f′(x)＝3，即3x2＝3，∴x＝±1，故应有2条．
答案：B
9．函数f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)是常数函数
D．f(x)＋g(x)是常数函数
解析：f′(x)＝g′(x)可知f′(x)－g′(x)＝0，
∴f(x)－g(x)＝c.
答案：C
10．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－.因为直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·＝－1，解得a＝－2，选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
解析：∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx.
∴＝(Δx)2＋6Δx＋12.
答案：(Δx)2＋6Δx＋12
12．(1)已知函数f(x)＝，则f′(0)＝________；
(2)已知函数f(x)＝xn，且f′(1)＝2，则n＝________.
解析：(1)因为f′(x)＝0，所以f′(0)＝0.
(2)由公式得f′(x)＝nxn－1，所以f′(1)＝n＝2，即n＝2.
答案：(1)0 (2)2
13．设f(x)＝ax2－bsin x且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcos x，
∴f′(0)＝－b＝1，∴b＝－1，
f′()＝a－b＝，解得a＝0.
答案：0 －1
14．已知函数f(x)＝x2－aln x，若函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为__________．
解析：由f′(x)＝x－，得f′(1)＝1－a，∵f(1)＝，
∴函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(1－a)(x－1)，
即y＝(1－a)x＋a－，由题意得，解得答案：
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(2)y＝xsin x＋.
解析：(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
(2)y′＝(xsin x)′＋()′＝sin x＋xcos x＋ .
16．(10分)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解析：(1)根据已知得点P(2,4)是切点，且y′＝x2，∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为，则切线的斜率k＝y′＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
17．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
解析：由f(x)的图像经过P(0,2)知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，又可知f′(－1)＝6.
∴，即，
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
18．(12分)设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a,0)，求a的值．
解析：依题意得解得P(a，a3－3a)．
因为y′＝3x2－3，
所以过P点的切线的斜率为3a2－3，
切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．
令y＝0得切线与x轴的交点为(，0)，
则＝－a，解得a＝或a＝－或a＝0.
因为a>0，所以a的值为.
课件14张PPT。