[A组 基础巩固]
1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．1 B．－1
C. D．－2
解析：∵ ＝－1，∴ ＝－1，∴f′(1)＝－1.
答案：B
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又∵函数y＝x2＋ax＋b在x0＝0处的切线方程是x－y＋1＝0，
∴ ＝a＝1，故选A.
答案：A
3．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：∵点Q(2,1)在抛物线上，
∴由导数的定义可得，
＝ ＝ (1＋·Δx)＝1，
∴y＝x2在点Q(2,1)处的导数为1.
∴所求的切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
答案：B
4．已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：令y＝f(x)＝ax2，则曲线在点(1，a)处的切线斜率k＝f′(1)，即2＝k＝f′(1)＝li ＝2a, 故a＝1.
答案：A
5．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)
C．(2,8) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：设P0(x0，y0)，
＝
＝
＝
＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，
f′(x0)＝ ＝3x＋1.
所以3x＋1＝4，x＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，
x0＝－1时，y0＝－4，所以P0为(1,0)或(－1，－4)．
答案：B
6．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝__________.
解析：∵点P为切点，∴f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
答案：2
7．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：∵f′(1)＝ ＝－1，
∴曲线在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
8．函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
解析：设函数y＝x2在点(x0，y0)处的导数值与其函数值相等，
∵f′(x0)＝
＝ ＝2x0，
令y0＝x，
∴2x0＝x，解得x0＝0或x0＝2，即在x＝0或x＝2处的导数值与其函数值相等．
答案：0或2
9．已知曲线y＝上一点P(1,2)，用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角α的大小和切线方程．
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－，
∴＝＝
＝，
∴过点P的切线的斜率k＝
＝li ＝＝1，
∴tan α＝1，∴α＝45°，
即过P点的切线的倾斜角等于45°.
由点斜式方程得过P点的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
10．已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°；
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
解析：设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋于4x0，
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝.∴该点为(，)．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴切线的斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1.∴该点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.∴该点为(2,9)．
[B组 能力提升]
1．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．
答案：B
2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝( )
A．3 B．－
C. D．－
解析：f′(1)＝1，
＝
＝－
＝－f′(1)＝－.
答案：B
3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．
解析：设切点为(x0，x)，f′(x0)＝
＝
＝ (2x0＋Δx)＝2x0，由题意2x0(－)＝－1，所以x0＝2，y0＝4.
kl＝4，所以l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
答案：4x－y－4＝0
4．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为__________．
解析：根据题意可知在点P处切线的斜率为f′(－2)＝－5.
因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故直线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4.
答案：4
5．已知曲线y＝x2＋1，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：假设存在实数a满足条件．
由＝＝2x＋Δx，得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0.
由点斜式得切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又切线过点(1，a)，y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(－∞，2)．
6．已知点M(0，－1)、F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解析：(1)∵f′(2)＝
＝0.
∴直线l的斜率为0，故直线方程为y＝－1.
(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，
∴＝1，p＝2，故抛物线方程为x2＝4y.
课件29张PPT。固定的值 斜率 斜率沿着曲线y＝f(x)趋向于点A 将绕点A转动
