[A组 基础巩固]
1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f′(x0)表示( )
A．自变量x＝x0时对应的函数值
B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率
C．函数值y在x＝x0时的平均变化率
D．无意义
解析：由导数的概念可知选B.
答案：B
2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( )
A．－9 B．－8
C．9 D．8
解析：f′(t)＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8，即为t＝1时的加速度．
答案：B
3．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )
A．27 C/s B．20 C/s
C．25 C/s D．23 C/s
解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．
∵q′＝4t＋3，
∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．
答案：D
4．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．
答案：D
5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
答案：C
6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.
解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝.
答案：
7．某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)＝(1＋10 %)t，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________．
解析：P′(t)＝1.1tln1.1，∴P′(8)＝1.18ln 1.1(元/年)．
答案：1.18ln 1.1
8．某国家在20年期间的年平均通货膨胀率为5%，物价P(单位：元)和时间t(单位：年)有如下函数关系：
P(t)＝P0(1＋5%)t，
P0为t＝0时的物价，假定某种商品为P0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________(精确到0.01)．
解析：∵P′(t)＝1.05tln 1.05，
∴P′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08(元/年)．
答案：0.08元/年
9．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝t2＋t－80，t∈[0,30]，求f′(15)的值并解释它的实际意义．
解析：Q′＝f′(t)＝t＋1，令t＝15，则f′(15)＝(C/s)，这表示t＝15 s时的电流强度，即单位时间内通过的电量．
10．某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，设函数为y＝f(x)＝－x2＋21x－100.
(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求f′(84)并解释它的实际意义．
解析：(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝19.5(万元/吨)，
它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．
(2)f′(x)＝－x＋21，于是f′(84)＝0，
f′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．
[B组 能力提升]
1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是( )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
解析：∵h′＝－200t＋800，
∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
答案：C
2．如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( )
解析：由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．
选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；
选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．所以应选D.
答案：D
3．某物体的位移与时间的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．
解析：s′＝6t2－a，由题意得6×12－a＝8，∴a＝－2.
答案：－2
4．建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)．
(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为________；
(2)f′(100)＝________，其实际意义为________．
解析：(1)f(100)＝1 010.3，f(200)＝4 020.3，
∴＝30.1(万元/m)，
即平均变化率为30.1 万元/m.
(2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元．
答案：(1)30.1万元 (2)20.1万元/m 当长度为100 m时，每增加1 m的长度成本就增加20.1万元
5．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距A光源x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯．
(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求I′(5)并解释它的实际意义．
解析：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为
＝
＝＝0.005(勒克斯/米)，
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．
(2)∵I(x)＝＋
∴I′(x)＝8(－2x－3)＋＝－＋
∴I′(5)＝－＋
＝－＝－0.112(勒克斯/米)
它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米．
课件26张PPT。时间 线密度 功率 降雨强度 边际成本
