[A组 基础巩固]
1．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72 B．36
C．12 D．0
解析：y′＝4x3－4，令y′＝0得x＝1.
∵当x<1时y′<0，当x>1时y′>0，
∴ymin＝y极小值＝0.
答案：D
2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．24 cm3 B．72 cm3
C．144 cm3 D．288 cm3
解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.
则y＝(10－2x)(16－2x)x(0
＝4x3－52x2＋160x，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．
答案：C
3．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
解析：令y′＝＝＝0，
得x＝e，当x>e时，y′<0，
当00，
所以ymax＝y极大值＝f(e)＝.
答案：A
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
解析：当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1答案：C
5．若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，0] D.
解析：当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，易知函数f(x)在(－∞，0]上的最大值点是x＝－1，且f(－1)＝2，故只要在(0,2]上，eax≤2恒成立即可，即ax≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln 2.
答案：D
6．函数y＝xex的最小值为________．
解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1，
当x<－1时，y′<0；
当x>－1时，y′>0.
∴ymin＝f(－1)＝－.
答案：－
7．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是________．
解析：由题意，当x>0时，f(x)的极小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)极小值为f(0)＝a，f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.
答案：(－∞，2]
8．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，如图，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边沿虚线折起，再焊接，则该容器的高为__________ cm时，容器的容积最大，最大容积是__________ cm3.
解析：该容器的高为x cm，容器的容积为V cm3，则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4 320x(00；当x∈(10,24)时，V′(x)<0.∴当x＝10时，V(x)有极大值V(10)＝19 600，这个极大值就是函数V(x)的最大值，∴当x＝10时，V(x)有最大值19 600.
答案：10 19 600
9．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
解析：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)(x－)，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f()＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0.
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f ＝ln ＋a ＝－ln a＋a－1.
因此f >2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
[B组 能力提升]
1．已知(a＋1)x－1－ln x≤0对任意x∈恒成立，则实数a的最大值为( )
A．0 B．1
C．1－2ln 2 D.
解析：原问题等价于a＋1≤对任意x∈恒成立，令h(x)＝，则h′(x)＝－，令h′(x)＝0，得x＝1，当x∈时，h′(x)>0，当x∈(1,2]时，h′(x)<0，所以函数h(x)在上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min＝h＝2－2ln 2，所以a≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，故选C.
答案：C
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益( )
A．0.016 B．0.032
C．0.024 D．0.048
解析：依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)，
又当00，
当0.032所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．
答案：B
3．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)存在零点，
x＋－a＝0，∴a＝x＋≥2.
答案：[2，＋∞)
4．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．
解析：若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间(0，]上单调递增，
在区间[，1]上单调递减，
因此g(x)max＝g()＝4，从而k≥4；
当x<0即x∈[－1,0)时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－，
g(x)＝－在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4，综上，k＝4.
答案：4
5．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r(r>0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求面积S关于x的函数关系式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
解析：(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，
设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程＋＝1(y>0)，
解得y＝2(0所以S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)，其定义域为(0，r)．
(2)由(1)可得S＝.
记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝.
当00；当所以f是f(x)的最大值．因此，当x＝时，
S也取得最大值，最大值为 ＝r2.
即等腰梯形的面积S的最大值为r2.
6．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．
解析：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3≥0，
∴a≤min＝3(当x＝1时取最小值)．
∵x≥1，∴a≤3，又a＝3时亦符合题意，∴a≤3.
(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，
最大值是f(5)＝15.
课件51张PPT。所有点 都不超过 所有点 都不小于最大值 最小值极值点 区间的端点 极大(小)值 极大(小)值 f(a) f(b) 