章末检测(四)
(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝，0
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：∵f′(x)＝>0(0∴f(x)在(0，e)上是增加的．
答案：C
2．设a解析：y′＝(x－a)(3x－2b－a)，由y′＝0，得x＝a或x＝，∴当x＝a时，y取极大值0，当x＝时，y取极小值且极小值为负．故选C.
答案：C
3．如图是导函数y＝f′(x)的图像，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：由题图，可知当x<－1或35或－10.故函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误．
答案：C
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：∵总利润
P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案：D
5．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案：A
6．已知函数f(x)＝x3－3x，则函数f(x)在区间[－2,2]上取得最大值的点是( )
A．0 B．－2
C．2 D．－
解析：∵f′(x)＝x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±，
又f(－2)＝，f(－)＝2，
f()＝－2，f(2)＝－.
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为2，其对应点为－.
答案：D
7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由图像看，在图像与x轴的交点处左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．答案：A
8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：令g(x)＝xf(x)，由f(x)<－xf′(x)，
得[xf(x)]′<0，即g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴由f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1)，则有，解得x>2.故选D.
答案：D
9．设函数f(x)＝(x3－1)2＋1，下列结论中正确的是( )
A．x＝1是函数的极小值点，x＝0是极大值点
B．x＝1及x＝0均是函数的极大值点
C．x＝1及x＝0均是函数的极小值点
D．x＝1是函数的极小值点，函数无极大值点
解析：f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x－1)(x2＋x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
故x＝0不是极值点，x＝1是函数的极小值点．
答案：D
10．已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的实数根a，b(aA．sin a＝acos b
B．sin a＝－acos b
C．cos a＝bsin b
D．sin b＝－bsin a
解析：∵方程＝k有两个不同的实数根a，b，即方程＝k有两个不同的实数根a，b，∴函数y＝|sin x|的图像和直线y＝kx在(0，＋∞)上有两个不同的交点，作出两个函数的图像(如图)，函数y＝|sin x|的图像和直线y＝kx在(0，π)上有一个交点A(a，sin a)，在(π，2π)上有一个切点B(b，－sin b)时满足题意．当x∈(π，2π)时，y＝f(x)＝|sin x|＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，∴在点B处的切线为y＋sin b＝f′(b)(x－b)，将x＝0，y＝0代入方程，得sin b＝bcos b，∴＝cosB．∵O，A，B三点共线，∴＝，∴＝－cos b，∴sin a＝－acosB．选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．函数y＝x3－9x，x∈(0,9)的单调递增区间是________．
解析：由y′＝3x2－9>0，得x<－ 或x> ，
又x∈(0,9)．
∴函数y＝x3－9x的单调递增区间为(，9)．
答案：(，9)
12．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝，
因为函数f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝＝0，
解得a＝3.
答案：a＝3
13．若函数f(x)＝x3＋ax在区间[1,2]上是递减的，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)≤0，即3x2＋a≤0，即a≤－3x2，又x∈[1,2]，故a≤－12.当a＝－12时，显然符合题意．所以实数a的取值范围是a≤－12.
答案：(－∞，－12]
14．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在上午6点到9点这段时间内进入该路段时，通过该路段用时最多的时刻是__________．
解析：由题意，知y′＝－t2－t＋36，令y′＝0，得3t2＋12t－36×8＝0，∴t1＝8，t2＝－12(舍去)．当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，∴当t＝8时，y取得最大值，∴通过该路段用时最多的时刻是上午8点．
答案：上午8点
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
解析：f′(x)＝1－，由导数的几何意义得f′(2)＝3，所以a＝－8.
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，得－2＋b＝7，解得b＝9.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
16．(10分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解析：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0且f′(－1)＝t－5≥0时，
f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
17．(12分)函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－x－m.
(1)若函数F(x)＝f(x)－g(x)，求函数F(x)的极值；
(2)若f(x)＋g(x)解析：(1)F(x)＝ln x－x2＋x＋m，定义域为(0，＋∞)，
∴F′(x)＝－，当F′(x)>0时，01；当F′(x)＝0时，x＝1.
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
?
极大值
?
故F(x)极大值＝F(1)＝m，没有极小值．
(2)∵f(x)＋g(x)∴m>(x－2)ex＋lnx－x在x∈(0,3)上恒成立．
设h(x)＝(x－2)ex＋ln x－x，
则h′(x)＝(x－1)，
当x>1时，x－1>0，且ex>e，<1，∴ex－>0，
∴h′(x)>0.
当0设u(x)＝ex－(x>0)，则u′(x)＝ex＋>0，
∴u(x)在(0,1)上单调递增，
当x→0时，→＋∞，∴u(x)<0，当x＝1时，u(x)＝e－1>0，
∴存在x0∈(0,1)，使得u(x0)＝ex0－＝0，即ex0＝.
∴当x∈(0，x0)时，u(x)<0；当x∈(x0,1)时，u(x)>0.
∴当x∈(0，x0)时，h′(x)>0；当x∈(x0,1)时，h′(x)<0，
即函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增．
h(x0)＝(x0－2)ex0＋ln x0－x0＝(x0－2)·－2x0＝1－－2x0，
∵x0∈(0,1)，∴－<－2，∴h(x0)＝1－－2x0<－1－2x0<－1，
而h(3)＝e3＋ln 3－3>0，
∴当x∈(0,3)时，h(x)18．(12分)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)：
(1)将乙方的利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年将受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？
解析：(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润：
W＝2 000－St(t>0)，
因为W′＝－S＝，令W′＝0，得t0＝()2，当t0，当t>t0时，W′<0，
所以当t＝t0时，W取得最大值，因此，乙方取得最大年利润的年产量t0＝()2(吨)．
(2)设甲方净收入为V元，则V＝St－0.002t2，把t＝()2代入上式，得甲方净收入V与赔付价格S之间的函数关系为V＝－，
又因为V′＝－＋＝，令V′＝0，得S＝20.当S<20时，V′>0，当S>20时，V′<0，所以当S＝20时，V取得最大值．因此，甲方向乙方要求的赔付价格S＝20元/吨时，获得最大净收入．
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(时间90分钟 满分100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，即a＝b＝0”的否定是( )
A．已知a，b∈R，若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a≠0且b≠0
C．已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a≠0或b≠0
D．已知a，b∈R，若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
解析：命题“已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”即命题“已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”，故其否定是“已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a≠0或b≠0”．
答案：C
2．已知双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：∵a2＝4，b2＝－k，
∴c2＝4－k.
∵e∈(1,2)，∴＝∈(1,4)，k∈(－12,0)．
答案：B
3．设曲线f(x)＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
解析：∵f′(x)＝＝－，
∴f′(3)＝－.
又∵(－a)×＝－1，
∴a＝－2.
答案：D
4．下列说法中正确的是( )
A．命题“若am2B．命题“存在x∈R，x2－x>0”的否定是“对任意x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
解析：命题“若am22?x>1，而x>1?/ x>2，则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故D不正确．
答案：B
5．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是( )
A．－7 B．7
C．3 D．－3
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，即3x2－6x＝0，解得x1＝0，x2＝2.当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.∴f(x)的极大值是f(0)＝7.
答案：B
6．设p：x2－3ax＋2a2≤0，其中a>0；q：<2x<8.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：C
7．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝＝，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3，又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为－＝1.故选A.
答案：A
8．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
解析：y′＝3x2－2a，∵函数在区间(0,1)内有极小值，
∴0<<1，即0答案：D
9．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：依题意，得m＝3，所以＋＝1.以原点为圆心，c＝4为半径作圆，则F1F2是圆的直径．若P在圆外，则∠F1PF2为锐角；若P在圆上，则∠F1PF2为直角；若P在圆内，则∠F1PF2为钝角．联立，消去y，得x＝±.故结合图形(图略)可知－答案：D
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是( )
解析：设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.
∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图像一定不满足该条件．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知命题p：函数f(x)＝的定义域是R，若p是真命题，则实数m的取值范围为__________．
解析：∵函数f(x)＝的定义域是R，∴mx2－(2－m)x＋≥0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，－2x＋≥0，不合题意；当m≠0时，有，解得1≤m≤4.综上，若p是真命题，则实数m的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
12．已知正项等比数列{an}中的a1，a7是函数，f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga4＝__________.
解析：∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a7＝6.
又{an}为正项等比数列，∴a＝a1·a7＝6，∴a4＝.
∴loga4＝log＝1.
答案：1
13．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．
解析：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c，0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，
＝(xD－c，yD)，
∵＝2，
∴
∴
∴＋＝1，即e2＝，∴e＝.
答案：
14．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为2，则此双曲线方程是________．
解析：由已知得椭圆中a＝5，b＝3，
∴c＝4，且它的焦点在y轴上，
故双曲线的焦点也应在y轴上且为(0,4)和(0，－4)，
又椭圆的离心率为e＝＝，
∴双曲线的离心率为2，即＝2，
又c＝4，∴它的实半轴长为2，虚半轴长的平方为b2＝c2－a2＝16－4＝12，
则双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0的一个根为2.
(1)求c的值；
(2)求证：f(1)≥2.
解析：(1)∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f′(0)＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(0)＝c＝0.
∴c＝0.
(2)证明：∵f(2)＝0，∴8＋4b＋2c＋d＝0，
而c＝0，∴d＝－4(b＋2)．
∵方程f′(x)＝3x2＋2bx＝0的两个根分别为x1＝0，
x2＝－b，且f(x)在[0,2]上是减函数，
∴x2＝－b≥2，∴b≤－3.
∴f(1)＝b＋d＋1＝b－4(b＋2)＋1
＝－7－3b≥－7＋9＝2.
故f(1)≥2.
16．(10分)已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题时实数m的取值范围．
解析：由题设知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∵|x1－x2|＝＝.当a∈[1,2]时， 的最小值为3.要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，得m<－1或m>4.综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，即解得实数m的取值范围是(4,8]．
17．(12分)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解析：(1)设商品降价x元，则多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
故当x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
18．(12分)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，设点P(a，b)满足△PF1F2是等腰三角形．
(1)求该椭圆的方程．
(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2＋|MB|2的值与m无关？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)根据题意，有，解得，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足题意的常数k.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程，消去y整理得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0.
在Δ>0的情况下，有，
|MA|2＋|MB|2＝(1＋k2)[(x1－m)2＋(x2－m)2]
＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m2]
＝[(－24k2＋18)m2＋96k2＋72]．
令－24k2＋18＝0，得k2＝，即k＝±.
此时|MA|2＋|MB|2的值与m无关．
