[A组 基础巩固]
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x<0时，f′(x)>0，当0
2时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．
答案：B
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析：令y＝xex，当x∈(0，＋∞)时，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0.
答案：B
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．是常函数
D．既不是增函数也不是减函数
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．
答案：A
4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是( )
解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
答案：C
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，∴方程－3x2＋2ax－1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤.
答案：B
6．在下列命题中，正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若对任意x∈(a，b)都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0；
⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数．
解析：举反例．若f(x)＝x3，x∈(－1,1)，则f(x)是单调增函数，但f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，所以①⑤错误；若f(x)＝x2，②错误；若f(x)＝－x，x∈(－2，－1)，则④错误．
答案：③
7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．
解析：∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
8．若函数f(x)＝mx＋在区间上单调递增，则m的取值范围为________．
解析：由题意f′(x)＝m＋≥0在上恒成立，即m≥－在上恒成立，令g(x)＝－，g′(x)＝x－，在x∈上g′(x)>0，所以g(x)max＝g(1)＝－，故m≥－.
答案：[－，＋∞)
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x2－ln x；
(2)y＝x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵函数的定义域为(0，＋∞)，
又∵y＝x2－ln x，∴y′＝x－＝.
①令y′>0，即>0，
又∵x>0，∴，∴x>1.
②令y′<0，即<0，
又∵x>0，∴，∴0∴函数y＝f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)∵y＝x＋sin x，∴y′＝＋cos x，
①令y′>0，得cos x>－，又∵x∈(0，π)，
∴0②令y′<0，得cos x<－，又∵x∈(0，π)，
∴∴函数y＝x＋sin x的增区间为，减区间为.
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a∈R且a≠0)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解析：∵f(x)＝ln x－ax2－2x，∴f′(x)＝－2ax－2(x>0)．
∵函数f(x)存在单调递减区间，
∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上有无穷多个解．
∴关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解．
①当a>0时，函数y＝2ax2＋2x－1的图像为开口向上的抛物线，
∴关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上总有无穷多个解．
②当a<0时，函数y＝2ax2＋2x－1的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为直线x＝－>0.
要使关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解．
则Δ＝4＋8a>0，解得a>－，此时－综上所述，实数a的取值范围为∪(0，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．函数y＝ax－ln x在内单调递增，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[2，＋∞) B．(－∞，0]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：∵y′＝a－，函数y＝ax－ln x在内单调递增，
∴函数在内y′≥0，即a－≥0，∴a≥.
由x>，得<2，要使a≥恒成立，只需a≥2.
答案：C
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)A．f(ln 2)<2f(0)，f(2)B．f(ln 2)>2f(0)，f(2)>e2f(0)
C．f(ln 2)<2f(0)，f(2)>e2f(0)
D．f(ln 2)>2f(0)，f(2)解析：令g(x)＝，则g′(x)＝<0，故g(x)在R上单调递减，而ln 2>0,2>0，故g(ln 2)答案：A
3．函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)＝(3－x2)ex，
∴f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex.
令f′(x)>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3∴函数f(x)的单调递增区间是(－3,1)．
答案：(－3,1)
4．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
答案：－75
5．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解析：由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－16．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x)<0，即f(x)<0，综上，a的取值范围为(－∞，1].
课件30张PPT。递增 递减 增函数 减函数 