[A组 基础巩固]
1．下列结论中正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
解析：结合函数极值的定义可知．
答案：B
2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：极大值点在导函数f′(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图像可知这样的极值点共有3个．
答案：B
3．下列四个函数：
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
解析：作出函数的大致图像，由图像可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A、C、D，故应选B.
答案：B
4．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
解析：由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.
令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.
∴当x＝1时，有y极大值＝1＋3－1＝3；
当x＝－1时，有y极小值＝1－3＋1＝－1.
答案：D
5．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－.
当x<－时f′(x)<0，当x>－时，f′(x)>0.
∴当x＝－时，函数f(x)取极小值．
答案：B
6．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．
解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．
当－1
或x<－1时，y′>0.
∴函数在x＝－1处取极大值．
答案：－1
7．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
解析：f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，
故f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
答案：0
8．设函数f(x)＝mcos x－sin x在x＝处取得极值，则m＝________.
解析：f′(x)＝－msin x－cos x．由题意，得f′()＝0，
∴－m·－×＝0.
∴m＝－.
答案：－
9．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，
所以f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，
故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)，知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝＝
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
10．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，
从而f′(x)＝62＋b－，
即f′(x)的图像关于直线x＝－对称．
则－＝－，即a＝3.
由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.
(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值，f(x)极大值＝f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝f(1)＝－6.
[B组 能力提升]
1．如图是函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x＝( )
A. B.
C. D.
解析：由图像可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x3－x2－2x，且x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2＋2×＝.
答案：C
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由函数的图像，可知f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0，故函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
答案：D
3．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)<0，得－a∴f(x)在(－∞，－a)内递增，在(－a，a)内递减，在(a，＋∞)内递增，
极大值为f(－a)＝2a3＋a＝a(2a2＋1)>0，
极小值为f(a)＝a(1－2a2)<0，由此解得a>.
答案：
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3.易知，由题意知，g(x)在[－2,5]上与x轴有三个交点，
所以解得1≤m＜8，
即m的取值范围为[1,8)．
答案：[1,8)
5．已知函数f(x)＝x3－m2x(m>0)．
(1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；
(2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围．
解析：(1)因为f(x)＝x3－m2x(m>0)，
所以f′(x)＝x2－m2.
因为f(x)在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝1－m2＝0(m>0)，
所以m＝1，故f(x)＝x3－x.
(2)f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
(－m，m)
m
(m，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表，得f(x)极大值＝f(－m)＝－＋m3，
由题意知f(x)极大值≥，所以m3≥1，解得m≥1.
故m的取值范围是[1，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)解关于x的不等式f(x)>f′(x)；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意，知f′(x)＝2ax－ex，
所以f(x)－f′(x)＝ax(x－2)．
当a＝0时，不等式f(x)－f′(x)>0无解；
当a>0时，不等式f(x)－f′(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)；
当a<0时，不等式f(x)－f′(x)>0的解集为(0,2)．
(2)设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，
则x1，x2是方程g(x)＝0的两个实数根，且g′(x)＝2a－ex.
当a≤0时，g′(x)<0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减，
所以方程g(x)＝0不可能有两个实数根；
当a>0时，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a，
当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，ln 2a)上单调递增，
当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(ln 2a，＋∞)上单调递减．
所以当g(x)max>0时，方程g(x)＝0才能有两个实数根，
所以g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>，
故实数a的取值范围是.
课件39张PPT。不大于 点x0 函数值f(x0) 不小于 点x0 函数值f(x0) 极大值 极小值 极大值点 极小值点左正右负 左负右正 相同 