[A组 基础巩固]
1．如果logx＜logy＜0，那么( )
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜y D．1＜y＜x
解析：不等式转化为?1＜y＜x.
答案：D
2．已知a＝log2 3.6，b＝log4 3.2，c＝log4 3.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
解析：∵2<3.6<4，∴log2 3.6>1>log4 3.6.
又∵log4 3.6>log4 3.2，∴a>c>b.
答案：B
3．已知a>b>0，证明－<可选择的方法，以下最合理的是( )
A．综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
解析：首先，排除C、D.然后，比较综合法、分析法．
我们选择分析法，欲证：－<，只需证：<＋，即证：a
答案：B
4．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m(β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若l⊥α，m(β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m(β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m(β，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；
若l⊥α，m(β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：B
5．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤
B．ab<1<
C．ab<<1
D.解析：因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝
＝2－ab>1，
即>1>ab.
答案：B
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：由已知得
＝3x＋b，
所以h(x)＝6x＋2b－.
h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，
3x＋b>恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及 半圆y＝(如图所示)，
可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
7．下列两数的大小关系是：＋2________2＋.
解析：假设＋2<2＋，
则3＋8＋4<4＋7＋4.
?<?6<7显然成立，故＋2<2＋.
答案：<
8．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，
∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时“＝”号成立)．
又∵a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时“＝”成立)，
∴3a＋9b≥2×32＝18.
即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.
答案：18
9．已知非零向量a和b的关系为a⊥b，求证：≤.
证明：因为a⊥b，所以a·b＝0.
要证≤ ，只需证|a|＋|b|≤ |a－b|，
两边同时平方得
|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，
即|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，此不等式恒成立．
故原不等式得证．
10．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： <a.
证明：要证 <a，
只需证b2－ac<3a2，
∵a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，
所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．
故原不等式成立．
[B组 能力提升]
1．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P、Q、R的大小顺序是( )
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
解析：要比较R、Q的大小，可对R、Q作差，
即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)，
又(＋)2－(＋)2
＝2－2<0，
∴Q答案：B
2．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正、负不能确定
解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又abc>0，∴a，b，c均不为0，
∴a2＋b2＋c2>0.
∴ab＋bc＋ca<0，
∴＋＋＝<0.
答案：B
3.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
答案：对角线互相垂直
4．设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，则S________2a.
解析：假设S<2a，下面给出证明：
由于S2＝2ab，要证S<2a，
只需证S<，即b因为S＝(a＋b＋c)，
所以只需证2b显然成立，故S<2a.
答案：<
5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，
即Sn＋＝5·2n－2.
所以S1＋＝，＝＝2.
因此是以为首项，2为公比的等比数列．
6．设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：a>0且－2<<－1.
证明：∵f(0)>0，∴c>0，
又∵f(1)>0，即3a＋2b＋c>0.①
而a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入①式，
得3a－2a－2c＋c>0，即a－c>0，∴a>c.∴a>c>0.
又∵a＋b＝－c<0，∴a＋b<0.
∴1＋<0，∴<－1.
又c＝－a－b，代入①式，得3a＋2b－a－b>0，
∴2a＋b>0，∴2＋>0，∴>－2.
故－2<<－1.
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