[A组 基础巩固]
1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”．
答案：D
2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①错，应为a≤b；②对；③错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．
答案：B
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
答案：B
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
答案：B
5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
答案：A
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是
________________________________________________________________________.
解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．
答案：x＝a或x＝b
8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为________________．
解析：“至少存在”的反面为“不存在”．“不存在c，使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”．
答案：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒有f(x)≤0.
9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.
证明：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.
证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，
即∠A<60，∠B<60°，∠C<60°，
三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾，
∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．
∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．
证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax(a>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有y＝axi，xi＝(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝＝＝，
同理kBC＝，kCD＝，kDA＝.
假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾．故四边形ABCD不可能是平行四边形．
[B组 能力提升]
1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：易知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1为锐角三角形，
设△A2B2C2也为锐角三角形，
由
得那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝，
这与三角形内角和为180°矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：D
2．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)A．1 B．2
C．3 D．4
解析：易知①③正确，②用反证法．
假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)从而②为真命题，④类似于②用反证法．
答案：D
3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.
答案：a，b不全为0
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
5．a、b∈R，用反证法证明a2＋ab与b2＋ab中至少有一个因式为非负数．
证明：假设a2＋ab与b2＋ab都是负数，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，
则a2＋ab＋b2＋ab<0，
即a2＋2ab＋b2<0，也就是(a＋b)2<0，
这与(a＋b)2≥0矛盾．
所以假设错误，原结论正确．
6．已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x0≥1，f(x0)≥1时，有f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
证明：假设f(x0)≠x0，则必有f(x0)>x0或f(x0)x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上是增函数，得f[f(x0)]>f(x0)，又f[f(x0)]＝x0，所以x0>f(x0)，与假设矛盾；
若x0>f(x0)≥1，则f(x0)>f[f(x0)]，又f[f(x0)]＝x0，所以f(x0)>x0，也与假设矛盾．
综上所述，当x0≥1，f(x0)≥1且f[f(x0)]＝x0时，有f(x0)＝x0.
课件19张PPT。假定 成立
