章末检测(三) 推理与证明
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推出扇形面积公式S扇等于( )
A. B.
C. D．不可类比
解析：由条件知S扇＝lr.
答案：C
2．给出下列推理：
①由A，B为两个不同的定点，动点P满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为S＝abπ；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
其中是归纳推理的命题个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意知只有②是归纳推理．
答案：B
3．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，则f2 011(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：由条件知f0(x)＝cos x，
f1(x)＝－sin x，
f2(x)＝－cos x，f3(x)＝sin x，f4(x)＝cos x，…，故函数f(x)以4为周期循环出现，故f2 011(x)＝sin x.
答案：A
4．已知为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若为等差数列，a5＝2，则的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积．
答案：D
5．奇数不能被2整除，32 010－1是奇数，所以32 010－1不能被2整除，上述推理( )
A．正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大前提错误
D．错误，因为小前提错误
解析：因为32 010－1是偶数，所以小前提错误．
答案：D
6．n个连续自然数按规律排成下表
根据规律，从2 009到2 011，箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 009到2 011为→↑，故选B.
答案：B
7．若0
A．a＋b B．2
C．a2＋b2 D．2ab
解析：因为02，a2＋b2>2ab，又0答案：A
8．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……
则数表中的数字2 010出现在( )
A．第44行第75列 B．第45行第75列
C．第44行第74列 D．第45行第74列
解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 010,2 025>2 010，∴2 010在第45行．又2 025－2 010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 010在第89－15＝74列，故选D.
答案：D
9．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P解析：要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2与
2a＋7＋2的大小，
只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，
即比较0与12的大小，而0<12.
故P答案：C
10．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2 017(x)等于( )
A．－ B．x
C. D.
解析：计算f2(x)＝f()＝＝－，
f3(x)＝f(－)＝＝，
f4(x)＝＝x，
f5(x)＝f1(x)＝，归纳得f4k＋1(x)＝，k∈N＋，从而f2 017(x)＝.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.
解析：前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝＝1 000.
答案：1 000
12．根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.
三角形的两边之和大于第三边
四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于底乘高的
三棱锥的体积等于底面积乘高的
三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的
解析：设△ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，三边长分别为a、b、c，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面积和为S△ABC＝(a＋b＋c)r.类似地，设三棱锥S-ABC的内切球半径为R，球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥O-SAB，O-SAC，O-SBC，O-ABC，其体积和为三棱锥S-ABC的体积，则V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R＝S表R.
答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的
13．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a的最大值为______．
解析：∵a≥0，b≥0，∴a＝··≤·＝×＝.
答案：
14．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4 α－8cos2 α＋1；
③cos 6α＝32cos6 α－48cos4 α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
解析：观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.
对于等式⑤，令α＝60°，则有
cos 600°＝512·－1 280·＋1 120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，
联立方程组得
∴m－n＋p＝962.
答案：962
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤.
证明：∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴将以上三个不等式相加，得：
2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)，
∴ab＋bc＋ca≤.
16．(10分)设{an}是集合{2t＋2s|0≤s(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；
(2)求a100.
解析：(1)将前三行各数分别写成2t＋2s的形式：
第1行：3＝21＋20；
第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；
第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；
由此归纳猜想：
第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；
第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.
经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.
(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．
因此，a100应当是第14行中的第9个数．
所以a100＝214＋28＝16 640.
17．(12分)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
18．(12分)设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，a≠1)．
(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．
解析：(1)5＝3＋2，且
f(3)g(2)＋g(3)f(2)
＝·＋·
＝
＝.
又g(5)＝，因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
于是猜测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：因为f(x)＝，g(x)＝.
∴g(x＋y)＝.
g(y)＝，f(y)＝，
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)
＝·＋·
＝＝g(x＋y)．
即g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
课件13张PPT。
