[A组 基础巩固]
1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案：D
2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
A．2n B.n(n＋1)
C．2n－1 D．2n－1
解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，an＝2n－1.
答案：C
3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.
答案：B
4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65
C．63 D．128
解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
答案：B
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，若a既是三角形数又是正方形数，则a＋1为偶数，a为奇数，故排除B、D；由(n＋1)＝289＝17×17，知n?N，所以排除A，而1 225＝352＝＝＝1 225，满足题意，故选C.
答案：C
6．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
解析：f(4)＝f(22)>，
f(8)＝f(23)>，
f(16)＝f(24)>，
f(32)＝f(25)>.
答案：f(2n)>
7．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
8．观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________．
解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
9．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？
我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…
这就是斐波那契数列，
此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出an与an－1间的递推关系式．
解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．
10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；sin25°＋sin2 65°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．
解析：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝
＋＋
＝－[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°]
＝－[cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α]＝＝右边
(将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝，sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝等均正确．)
[B组 能力提升]
1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，排除B项、D项．黑圈按照依次向右，右边无圆圈则向下的顺序每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不计算在移动格子内)，所以符合条件的只有C项．
答案：C
2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为________．
解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x－20＝12,47－x＝15，∴x＝32.
答案：32
3．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案：
4．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．
(3)现已知某个平面图形有1 005个顶点，且围成了1 005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．
解析：(1)填表如下：
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
8
12
5
(c)
6
9
4
(d)
10
15
6
(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：
4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.
所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.
(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数．
边数＝顶点数＋区域数－1＝1 005＋1 005－1＝2 009.
5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示，为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解析：(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上述规律，得
f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋
＝1＋[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)＝－.
课件20张PPT。01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 C [答案] (1)C (2)B[答案] B
