[A组 基础巩固]
1．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为( )
A．1 B．1或3
C．3 D．9
解析：由条件知，m－3＝2，即m－2－3＝0，
∴(－3)(＋1)＝0，∴m＝9.
答案：D
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数，且满足a＋bi＝a2＋2ai，则复数z为( )
A．0或1＋2i B．0
C．1＋2i D．2i
解析：∵b≠0，∴a＝a2且b＝2a，∴a＝1，b＝2.
答案：C
3．下列命题中：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若zA＝1，zB＝i，则z＋z＝1－1＝0，从而由z＋z＝0?/ zA＝zB＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.
答案：A
4．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：因为点A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i，故选B.
答案：B
5．已知复数z＝a－i(a∈R)对应的点都在以原点为圆心的单位圆内(不含边界)，则a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C. D．(－1,0)∪(0,1)
解析：因为复数z＝a－i(a∈R)对应的点在圆x2＋y2＝1内，所以a2＋<1，解得－
答案：C
6．复数z＝sin 40°＋isin 230°的模等于________．
解析：|z|＝
＝＝＝1.
答案：1
7．若|log3m＋4i|＝5，则实数m＝________.
解析：由logm＋16＝25，
∴logm＝9，∴log3m＝3或－3，
∴m＝27或.
答案：27或
8．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
解析：由得
∴－答案：(－，－2)∪(2，)
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
解析：(1)由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
故当m＝5或m＝－3时，z为实数．
(2)由m2－2m－15≠0，得m≠5且m≠－3.
故当m≠5且m≠－3时，z为虚数．
(3)由得m＝－2.
故当m＝－2时，z为纯虚数．
(4)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5.
故当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．
(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，
得m＝或m＝.
故当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
10．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，求复数z.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 ＝5.①
∴(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，
由题设，得b＝a，代入①，
∴a＝±4，∴z＝4＋3i或z＝－4－3i.
[B组 能力提升]
1．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得
∴z＝＋i.
答案：D
2．已知复数z1＝x＋yi，z2＝x＋(x－3y)i，x，y∈R.若z1＝z2，且|z1|＝，则z1＝________.
解析：因为z1＝z2，所以y＝x－3y，即x＝4y.
又|z1|＝＝，即17y2＝17，
解得y＝1，x＝4或y＝－1，x＝－4，
所以z1＝4＋i，或z1＝－4－i.
答案：4＋i或－4－i
3．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
答案：180°
4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个方程的实根以及实数k的值．
解析：设x＝x0是方程的一个实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件得，解得或.
当实根为时，k＝－2，当实根为－时，k＝2.
5．已知复数z的模是2，求|z－i|的最大值．
解析：解法一 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则|z－i|＝＝.
由于x2＋y2＝4，则|z－i|＝，
又－2≤y≤2，故|z－i|max＝3.
解法二 由|z|＝2，知z对应的轨迹为以原点为圆心2为半径的圆(如图)．
又|z－i|的几何意义为由动点z到(0,1)的距离，
∴由图形知|z－i|max＝3.
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