[A组 基础巩固]
1．复数(2＋i)2等于( )
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
解析：利用完全平方公式求解．
(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
答案：A
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：利用复数的乘法、除法法则求解．
＝＝＝1＋i.
答案：C
3．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：先化简复数，再求共轭复数．
∵z＝＝＝＝－1＋i，
∴＝－1－i.
答案：D
4．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于( )
A．－3＋4i B．－3－4i
C．3＋4i D．3－4i
解析：解法一 由(3＋4i)z＝25，
得z＝＝＝3－4i.
解法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以
解得故z＝3－4i.
答案：D
5．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)
＝－＋(2＋)i，
对应点在第二象限．
答案：B
6．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t＝________.
解析：∵z2＝t＋i，∴＝t－i.
z1·＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.
答案：
7．计算：＝________(i为虚数单位)．
解析：用复数除法的运算法则求解．
＝＝＝1－2i.
答案：1－2i
8．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
解析：z＝＝＝－1＋i，
＝－1－i，
∴|＋3i|＝|－1－i＋3i|＝|－1＋2i|＝.
答案：
9．计算：(1)；
(2)；
(3)＋.
解析：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋
＝－1.
10．已知＝，求实数a，b.
解析：已知左边＝
＝＝(a＋b)－abi.
右边＝＝＝5－6i，
所以(a＋b)－abi＝5－6i
由两个复数相等的条件可得
解得或
[B组 能力提升]
1．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
解析：由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
答案：D
2．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
解析：由i(z＋1)＝－3＋2i得到
z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
答案：1
3．已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则＝________.
解析：∵(3－4i)z是纯虚数，可设(3－4i)z＝ti(t∈R且t≠0)，∴z＝，
∴|z|＝＝5，∴|t|＝25，∴t＝±25，
∴z＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，
＝±(－4－3i)＝?(4＋3i)．
答案：±(4＋3i)
4．(2016·高考天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
解析：利用复数的乘法和复数相等的条件直接求出a和b的值即可．
因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.
答案：2
5．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R.
z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4，
∴z2＝4＋2i.
6．设i为虚数单位，复数z和ω满足zω＋2iz－2iω＋1＝0.
(1)若z和ω满足－z＝2i，求z和ω的值；
(2)求证：如果|z|＝，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数．
解析：(1)∵－z＝2i，∴z＝－2i.
代入zω＋2iz－2iω＋1＝0，
得(－2i)(ω＋2i)－2iω＋1＝0，
∴ω－4iω＋2i＋5＝0.
设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则上式可变为
(x＋yi)(x－yi)－4i(x＋yi)＋2i(x－yi)＋5＝0.
∴x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.
∴∴或
∴ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i.
(2)证明：由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得
z(ω＋2i)＝2iω－1，∴|z||ω＋2i|＝|2iω－1|.①
设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则|ω＋2i|＝|x＋(y＋2)i|
＝＝ .
|2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|
＝＝ .
又|z|＝，
∴①可化为3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1.
∴x2＋y2－8y＝11.
∴|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝
＝＝3.
∴|ω－4i|的值是常数，且等于3.
课件19张PPT。
