章末检测(四) 数系的扩充与复数的引入
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝＋i2对应点在复平面( )
A．第一象限内 B．实轴上
C．虚轴上 D．第四象限内
解析：∵z＝－1，故对应点在实轴上．
答案：B
2．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
解析：＋对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.
答案：C
3．复数＝( )
A．2－i B.＋i
C．10－5i D.－i
解析：＝＝＝2－i，故选A.
答案：A
4．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
∴，解得，∴z＝3－i.
答案：B
5．若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3等于( )
A．±2 B．－2
C．－2i D．±2i
解析：由z2＋2＝0，∴z＝±i，
∴z3＝±2i.
答案：D
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：设z＝bi，其中b≠0，b∈R，则由＝＝＝是实数，得2＋b＝0，b＝－2，故z＝－2i.故选D.
答案：D
7．复数＋的虚部是( )
A.i B.
C．－i D．－
解析：∵＋＝＋＝＋＝，
∴其虚部是，故选B.
答案：B
8．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．1 B．－i
C．±1 D．±i
解析：设z＝a＋bi，由z＋＝4，z·＝8，
可得所以或
即z＝2＋2i或z＝2－2i.
当z＝2＋2i时，＝＝＝＝－i；
当z＝2－2i时，＝＝＝＝i.
答案：D
9．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋2＝1，则sin2θ＝( )
A. B.
C. D．－
解析：z2＋2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2
＝2cos 2θ＝1?cos 2θ＝，
所以sin2θ＝＝.
答案：B
10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：对于A：|z－|＝|2yi|＝2|y|≠2y；对于B：z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2；对于C：|z－|＝2|y|≥2x不一定成立；对于D：|z|＝≤|x|＋|y|成立．
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai 的模是________．
解析：因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为＝，故填 .
答案：
12．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
解析：∵|z|＝3，∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆
13．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则(z1－z2)i 的虚部是________．
解析：∵z1－z2＝2＋2i，
∴(z1－z2)i＝－2＋2i，
∴(z1－z2)i的虚部是2.
答案：2
14．已知复数z满足|z－i|＝1，则|z＋2－i|的最小值为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|＝1，
得|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝ ＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1，即(y－1)2＝1－x2，
∴|z＋2－i|＝|x＋yi＋2－i|＝|(x＋2)＋(y－1)i|
＝＝＝，
∵(y－1)2＝1－x2≥0，∴－1≤x≤1，
∴当x＝－1时，|z＋2－i|min＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)计算下列各题：
(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；
(3)(1－i)(－＋i)(1＋i)．
解析：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.
(3)(1－i)(－＋i)(1＋i)
＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)
＝(＋i)(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
16．(10分)实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)与复数2－12i相等？
(2)与复数12＋16i互为共轭复数？
(3)对应的点在x轴的上方？
解析：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)根据复数z对应点在x轴的上方，可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
17．(12分)已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
解析：∵z＝1＋i，＝1－i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a、b都是实数，∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得
解得
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
18．(12分)已知复数z＝3＋3i＋m(m∈C)且为纯虚数．
(1)求z在复平面内对应点的轨迹；
(2)求|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
解析：(1)∵为纯虚数，
∴＋()＝0，化简得|m|＝3.
由z＝3＋3i＋m，得z－(3＋3i)＝m，
∴|z－(3＋3i)|＝|m|＝3.
∵m≠±3，∴z≠6＋3i且z≠3i，
∴复数z对应的点的轨迹为以(3,3)为圆心，3为半径的圆，去掉(6,3)，(0,3)两点．
(2)|z－1|2＋|z＋1|2
＝(z－1)(－1)＋(z＋1)(＋1)
＝2(|z|2＋1)．
由几何意义知，|z|max＝9，|z|min＝3，
∴|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为164，最小值为20.
课件13张PPT。
