人教A版高中数学必修四 课件：1.1.1　任意角 :30张PPT

课件30张PPT。第一章　三角函数
1.1　任意角和弧度制
1.1.1　任意角目标导航新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.任意角的概念与分类
(1)角的概念:角可以看成是平面内一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线(2)角的表示:如图,①顶点:射线的端点O;②始边:射线的起始位置OA;③终边:射线的终止位置OB.(3)角的分类:按照旋转方向可将角分为如下三类:
正角:按 时针方向旋转形成的角;
负角:按 时针方向旋转形成的角;
零角:一条射线 作任何旋转形成的角.
思考1:零角的始边与终边重合,如果一个角的终边和始边重合,那么这个角一定是零角吗?
提示:不一定.若角的终边未作旋转,则这个角是零角;若角的终边作了旋转,则这个角不是零角.如360°角.
2.象限角
在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的 在第几象限就是第几象限角.如果角的 落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.逆顺没有终边终边思考2:把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置?
提示:终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=
,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个 的和.{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角名师点津(1)准确认识终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子α+k·360°,k∈Z表示.
在运用时,需注意以下几点:
①k是整数,这个条件不能漏掉;
②α是任意角;
③k·360°与α之间用“+”号连结,如k·360°-30°应看成k·360°+
(-30°)(k∈Z);
④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.(教师备用)提醒:一般地,终边相同的角的表达式形式不唯一,可利用图形来验证,如α=90°+k·180°与β=-90°+k·180°(k∈Z)都表示终边在y轴上的角.
(2)象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示
①象限角的集合:
第一象限角的集合:{α|k·360°<α第二象限角的集合:{α|k·360°+90°<α第三象限角的集合:{α|k·360°+180°<α第四象限角的集合:{α|k·360°+270°<αa.终边落在x轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k·360°,k∈Z};
b.终边落在x轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+180°,
k∈Z};
c.终边落在y轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,
k∈Z};
d.终边落在y轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+270°,
k∈Z};
e.终边落在x轴上的角的集合:{α|α=k·180°,k∈Z};
f.终边落在y轴上的角的集合:{α|α=k·180°+90°,k∈Z};
g.终边落在坐标轴上的角的集合:{α|α=k·90°,k∈Z}.课堂探究·素养提升题型一　象限角的判定
[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角.
(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.解:作出各角,其对应的终边如图所示:(1)由图可知:-75°是第四象限的角;
(2)由图可知:855°是第二象限的角;
(3)由图可知:-510°是第三象限的角.方法技巧象限角的判定方法
(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系;
(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内,在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.即时训练1-1:已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出在0°～360°范围内与其终边相同的角,并指出它们是第几象限的角.
(1)360°;(2)1 440°.解:作出各角的终边如图所示(1)360°=0°+1×360°,
所以在0°～360°范围内,与360°终边相同的角是0°.
(2)1 440°=0°+4×360°,
所以在0°～360°范围内,与1 440°终边相同的角是0°.
以上两个角的终边落在x轴的非负半轴上,是不属于任何象限的角.[备用例1] 在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.解:(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.
(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°～360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.题型二　终边相同的角
[例2] 已知角α=2 020°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;解:(1)由2 020°除以360°,得商为5,余数为220°.
所以取k=5,β=220°,
α=5×360°+220°.
又β=220°是第三象限角,
所以α为第三象限角.(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.方法技巧(1)把任意角化为α+k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法;
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.解析:由于y=-|x|的图象是三、四象限的平分线,故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·
360°+225°或α=k·360°+315°,k∈Z}.即时训练2-1:若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,试写出角α的集合.题型三　区域角的集合表示
[例3] 已知,如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由图可知,阴影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤
135°+k·360°,k∈Z}.方法技巧表示区间角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应角α和β,写出最简区间{x|α第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.解:在-180°～180°内落在阴影部分角集合为大于-45°小于45°,所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|-45°+k·360°<
α<45°+k·360°,k∈Z}.即时训练3-1:写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.[备用例2] 已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),试写出角α的集合.解:在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤
α≤315°.
所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α≤
135°+k·360°,k∈Z}∪
{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.题型四　易错辨析纠错:致错原因是把α是第二象限角范围误认为是大于90°而小于180°,而应是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}才完整.正解:(1)由题意得
90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),①
所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.课堂达标解析:一条射线绕着端点顺时针旋转240°所形成的角是-240°,故选D.1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　 　)
(A)120° (B)-120° (C)240° (D)-240°D 解析:由终边相同角的概念知①②③④都正确,故选D.2.以下说法,其中正确的有(　 　)
①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;
③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个D 3.(2019·大港区月考)在0°～360°范围内,与-950°终边相同的角是
　　　　.?解析:-950°=-3×360°+130°,
所以在0°～360°范围内,与-950°终边相同的角是130°.答案:130°解析:①-330°角是第一象限角,但它是负角,所以①不正确.
②120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,显然390°>120°,所以②不正确.
③480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以③不正确.
④0°角是小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确.4.下列命题
①第一象限角一定不是负角;
②第二象限角大于第一象限角;
③第二象限角是钝角;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中不正确的序号为　　　　.?答案:①②③④点击进入 课时作业