人教A版高中数学必修四 课件：2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例 (36张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修四 课件：2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例 (36张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-26 20:42:08 | ||
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文档简介
课件36张PPT。2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例目标导航新知导学课堂探究1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.新知导学·素养养成向量向量问题向量运算思考1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题?提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.思考2:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系?提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.名师点津向量在平面几何中的应用
(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量,这样,有关线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向量的夹角,于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代,这给许多问题的解决带来了方便,就是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思想,新的工具.
(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向量后,就减少或不需作辅助线,但应注意选用基底表示有关向量时,选用的基底不同,解法也会有一些差别,因此选用合适的基底显然很重要.课堂探究·素养提升题型一 向量在平面几何中的应用
[例1] 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,方法技巧用向量法证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤:
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.即时训练1-1:已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.[备用例1] 如图所示,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上一点,四边形PFCE是矩形,证明:PA⊥EF.证明:以D为原点,以DC所在直线为x轴,以DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.令正方形ABCD的边长为1,DP=λ,则A(0,1),题型二 向量在解析几何中的应用
[例2] 过点A(-2,1),求:
(1)与向量a=(3,1)平行的直线方程;(2)与向量b=(-1,2)垂直的直线方程.方法技巧(2)用向量方法解决解析几何问题的步骤:一是把解析几何问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为解析几何问题.答案:2x+y-3=0题型三 向量在物理中的应用
[例3] 在我们的日常生活中,我们会有这样的体验:两个人一起提一个又大又重的旅行包,两人手臂的夹角越大会越吃力,你能用本节知识解释这个问题吗?方法技巧(1)解力的向量问题时,依据题意对物体进行受力分析,通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.
(2)解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位,借助于图形,将物理量之间的关系抽象为数学模型.即时训练3-1:已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.[备用例3] 两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M,N点,M,N两点间的距离为s,如图所示.已知每根绳所能承受的最大拉力为|T|,则每根绳的长度不得短于多少?错解一:因为a·b=b·c=c·a,
所以|a·b|=|b·c|=|c·a|,
即|a||b|=|b||c|=|c||a|.
由|a||b|=|b||c|得,|a|=|c|,
由|b||c|=|c||a|得,|b|=|a|.
所以|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.
错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.
纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0,所以a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分.
正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以
|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.学霸经验分享区(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
(2)用向量知识解决物理中相关问题
一般来说分为四步:
①问题的转化,把物理问题转化成数学问题;
②模型的建立,建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获取,求出数学模型的相关解;
④问题的答案,回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.课堂达标D C 3.力F=(-1,-5)作用于质点m,使m产生的位移s=(4,6),则力F对质点m做的功是 .?解析:因为W=F·s=(-1,-5)·(4,6)=-34,
所以力F对m所做的功是-34.
答案:-34答案:135°.5.已知,四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.
求证:AC⊥BD.点击进入 课时作业点击进入 周练卷
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例目标导航新知导学课堂探究1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.新知导学·素养养成向量向量问题向量运算思考1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题?提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.思考2:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系?提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.名师点津向量在平面几何中的应用
(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量,这样,有关线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向量的夹角,于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代,这给许多问题的解决带来了方便,就是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思想,新的工具.
(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向量后,就减少或不需作辅助线,但应注意选用基底表示有关向量时,选用的基底不同,解法也会有一些差别,因此选用合适的基底显然很重要.课堂探究·素养提升题型一 向量在平面几何中的应用
[例1] 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,方法技巧用向量法证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤:
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.即时训练1-1:已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.[备用例1] 如图所示,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上一点,四边形PFCE是矩形,证明:PA⊥EF.证明:以D为原点,以DC所在直线为x轴,以DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.令正方形ABCD的边长为1,DP=λ,则A(0,1),题型二 向量在解析几何中的应用
[例2] 过点A(-2,1),求:
(1)与向量a=(3,1)平行的直线方程;(2)与向量b=(-1,2)垂直的直线方程.方法技巧(2)用向量方法解决解析几何问题的步骤:一是把解析几何问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为解析几何问题.答案:2x+y-3=0题型三 向量在物理中的应用
[例3] 在我们的日常生活中,我们会有这样的体验:两个人一起提一个又大又重的旅行包,两人手臂的夹角越大会越吃力,你能用本节知识解释这个问题吗?方法技巧(1)解力的向量问题时,依据题意对物体进行受力分析,通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.
(2)解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位,借助于图形,将物理量之间的关系抽象为数学模型.即时训练3-1:已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.[备用例3] 两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M,N点,M,N两点间的距离为s,如图所示.已知每根绳所能承受的最大拉力为|T|,则每根绳的长度不得短于多少?错解一:因为a·b=b·c=c·a,
所以|a·b|=|b·c|=|c·a|,
即|a||b|=|b||c|=|c||a|.
由|a||b|=|b||c|得,|a|=|c|,
由|b||c|=|c||a|得,|b|=|a|.
所以|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.
错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.
纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0,所以a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分.
正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以
|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.学霸经验分享区(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
(2)用向量知识解决物理中相关问题
一般来说分为四步:
①问题的转化,把物理问题转化成数学问题;
②模型的建立,建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获取,求出数学模型的相关解;
④问题的答案,回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.课堂达标D C 3.力F=(-1,-5)作用于质点m,使m产生的位移s=(4,6),则力F对质点m做的功是 .?解析:因为W=F·s=(-1,-5)·(4,6)=-34,
所以力F对m所做的功是-34.
答案:-34答案:135°.5.已知,四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.
求证:AC⊥BD.点击进入 课时作业点击进入 周练卷