人教版七年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：04【基础】绝对值（含答案）

绝对值（基础）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若/，则/；若/，则/；若/，则/；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
/1．求下列各数的绝对值．
/，-0.3，0，/
【思路点拨】/，-0.3，0，/在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解法一：因为/到原点距离是/个单位长度，所以/．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为/到原点的距离是/个单位长度，所以/．
解法二：因为/，所以/．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为/，所以/．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
/2．（2019?毕节市）下列说法正确的是（　　）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】（2019?镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
【答案】6或-6
类型二、比较大小
/3．（2019春?上海校级月考）比较大小：/　 　﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答．
【答案】＜．
【解析】解：|﹣1/|=1/=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，
∵1.75＜1.8，
∴|﹣1/|＜﹣（﹣1.8），
故答案为：＜．
【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．
举一反三：
【绝对值比大小 典型例题2】
【变式1】比大小：
/______/ ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
/______－1.384； －π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）
A．0 B．1 C．－2 D．2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是( )．
/
A．-a＜a＜-1 B．-1＜-a＜a
C．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
/4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型四、绝对值的实际应用
/5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019.常州）-3的绝对值是（ ）．
A． 3　　B．-3　 C．/ D．/
2．下列判断中，正确的是( )．
A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
3．下列各式错误的是( )．
A．/ B．/ C．/ D．/
4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)
城市
温州
上海
北京
哈尔滨
广州
平均气温
6
0
-9
-15
15
则其中当天平均气温最低的城市是( )．
A．广州 B．哈尔滨 C．北京 D．上海
5．下列各式中正确的是( )．
A．/ B．/ C．-3.7＜-5.2 D．0＞-2
6．（2019?娄底）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（　　）
/
A．M B．N C．P D．Q
7．若|a| + a＝0，则a是( )．
A. 正数 B. 负数 C.正数或0 D.负数或0
二、填空题
8．（2019?铜仁市）|﹣6.18|=　　．
9. 若m，n互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m，n的关系是________．
10．已知| x |＝2，| y |＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
11．满足3.5≤| x | ＜6的x的整数值是___________．
12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x等于 .
13．数a在数轴上的位置如图所示．
则|a-2|＝__________．
14. 若/，则/ 0；若/，则/ 0；
若/，则/ 0；若/，则/ ；
若/，则/的取值范围是 ．
15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．
三、解答题
16．（2019春?桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
17.如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
/
则：a﹣b　　0，a+c　　0，b﹣c　　0．（用＜或＞或=号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查结果记录如下：
零件
1
2
3
4
5
误差
-0.2
-0.3
+0.2
-0.1
+0.3
根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A
2.【答案】B
【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.
3．【答案】C
【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C是错误的．
4. 【答案】B
【解析】因为-15＜-9＜0＜6＜15，所以当天平均气温最低的城市是哈尔滨．
5. 【答案】D
【解析】0大于负数．
6．【答案】D
【解析】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．
7. 【答案】D
【解析】若a为正数，则不满足|a| + a＝0；若a为负数，则满足|a| + a＝0；若a为0，也满足|a| + a＝0. 所以a≤0，即a为负数或0.
二、填空题
8. 【答案】6.18
9. 【答案】=；m=±n
【解析】若m，n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来， m，n绝对值相等，则它们相等或互为相反数.
10. 【答案】±2，-5
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5.但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
11.【答案】±4, ±5
【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.
12.【答案】/
【解析】绝对值最小的数是0，所以当2x-1=0，即x=/时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值.
13. 【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2.
14. 【答案】≥；≤；＜；任意有理数；a≤1
15. 【答案】-3,1
三、解答题
16.【解析】解：∵|a+1.2|+|b﹣1|=0，
∴a+1.2=0，b﹣1=0，
∴a=﹣1.2，b=1，
∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．
17.【解析】
解：由数轴得，　　a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，　　∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]　　=﹣a+b+a+c﹣b+c　　=2c．
18．【解析】
解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．哪个零件的直径偏差越小，哪个零件的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以这5件中质量最好的是第4件．