24.2直角三角形的性质 导学案
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文档简介
24.2直角三角形的性质导学案
课题
直角三角形的性质
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.
2.继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律
重点难点
重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用
难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法
教学过程
知识链接
1、什么是直角三角形？
2、直角三角形的性质学过哪些？
合作探究
一、教材102页探索
如图，画出Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.
猜想并证明
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD=
1
2
????
/
得出又一性质：
。
二、教材103页例题
例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC=
1
2
AB
/
对此，你能得出什么结论？
。
自主尝试
1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A．形状相同 B． 周长相等 C．面积相等 D．全等
2、如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是____________。
3、等腰直角三角形斜边上的中线长为4cm，则其面积为_________________。
【方法宝典】
利用性质即可解答.
当堂检测
1．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（ ）
A． 1.5 B． 2 C． 2.5 D.3
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
/
A．20 B．10 C．5 D．/
3.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）/
A．20 B．12 C．14 D.13
4.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
/
A．2 B．/ C．/ D．/
5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
/
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 _________ ，QE与QF的数量关系式 _________ ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
直角三角形的性质
参考答案：
当堂检测：
D 2、C 3、C 4、C
5、解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
/
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
/
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
/，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
/
课题
直角三角形的性质
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.
2.继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律
重点难点
重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用
难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法
教学过程
知识链接
1、什么是直角三角形？
2、直角三角形的性质学过哪些？
合作探究
一、教材102页探索
如图，画出Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.
猜想并证明
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD=
1
2
????
/
得出又一性质：
。
二、教材103页例题
例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC=
1
2
AB
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对此，你能得出什么结论？
。
自主尝试
1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A．形状相同 B． 周长相等 C．面积相等 D．全等
2、如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是____________。
3、等腰直角三角形斜边上的中线长为4cm，则其面积为_________________。
【方法宝典】
利用性质即可解答.
当堂检测
1．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（ ）
A． 1.5 B． 2 C． 2.5 D.3
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
/
A．20 B．10 C．5 D．/
3.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）/
A．20 B．12 C．14 D.13
4.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
/
A．2 B．/ C．/ D．/
5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
/
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 _________ ，QE与QF的数量关系式 _________ ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
直角三角形的性质
参考答案：
当堂检测：
D 2、C 3、C 4、C
5、解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
/
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
/
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
/，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
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